1. Какое из выражений можно назвать отношениями:
а) 6 : 3; б) 3 + 6; в) 6 – 3; г) д)
2. Выпишите равенства, которые являются пропорциями:
а) ; б)
в) 3,7 : 0,1 = 37; г) 3,06 : 0,4 = 9 : 10.
3. Найдите неизвестный член пропорции:
x : 12 = 9 : 27.
4. Решите уравнение: .
5. Проверьте, используя основное свойство пропорции, является ли данное равенство пропорцией:
6 : 5 = 100 : 75.
6. Найдите отношение величин: 82 дм2 и 0,24 м2. В ответ запишите пропорцию.
7. Найдите значения х и у, такие, чтобы каждое из двух равенств и было правильным.
8. В бидоне было 5,5 л молока. Из него отлили некоторое количество молока. Отношение оставшейся части молока к его первоначальному количеству равно 0,4. Сколько литров молока отлили?

Пусть весь путь до моря-окияна х вёрст.
Тогда в первый день Иван проехал (х/5)+16=0,2*х+16 вёрст.
Во второй день Иван проехал - 0,3*(х-(0,2*х+16))+20=0,3*(х-0,2*х-16)+20=
=0,3*(0,8*х-16)+20=0,24*х-4,8+20=0,24*х+15,2 вёрст.
В третий день Иван проехал 3/4 остатка и 30 вёрст, то есть 1/4 остатка=30, тогда в третий день Иван проехал 30*4=120 вёрст.
Сложим путь пройденный за 3 дня и получим х.
0,2*х+16+0,24*х+15,2+120=х
0,44*х+151,2=х
х-0,44*х=151,2
0,56*х=151,2
х=270 вёрст.
Проверка:
1 день - 0,2*270+16=70
2 день - 0,3*(270-70)+20=60+20=80
3 день - 0,75*(270-70-80)+30=90+30=120
70+80+120=270
ответ: 270 вёрст.

Как минимум взаимно простыми эти числа могут быть. Например, при а=b=1 получим a+b=2 и a²-ab+b²=1-1+1=1.

Предположим, что НОД(a+b, a²-ab+b²)=d>1.
Т.к. 3ab=(a+b)²-(a²-ab+b²), то 3ab делится на d. Если d≠3, то в разложении числа d на простые существует простой делитель р, который делит произведение ab, а значит р делит или а или b. Если бы p делило а, то оно делило бы и b, т.к. b=(a+b)-a, но тогда а и b не были бы взаимно простыми. Значит p не делит a. Аналогично, p не делит b. Значит для d остается единственная возможность d=3. Легко видеть, что при a=2 и b=1, получим a+b=3 и a²-ab+b²=4-2+1=3. Итак,  НОД(a+b,a²-ab+b²) может принимать только два значения 1 или 3.