1) Найдите производную функции
f(x)=1-3x2 в точке x0
а) -3x0
б) -6x0
в) 6x02
2) Найдите производную функции
f(x)=2x3+3x2-2
а) f'(x)=6x2+3x
б) f'(x)=6x2+6x
в) f'(x)=6x2+6x-2
3) Найдите производную функции
f(x)=(2x-3)*2x3
а) f'(x)=16x3-18x2
б) f'(x)=16x2-18x3
в) f'(x)=16x3+18x2
4) Найдите производную функции
f(x)=(3x-2)/(5x+8)
а) f'(x)=14/(5x+8)2
б) f'(x)=30x+34/(5x+8)2
в) f'(x)=34/(5x+8)2
5) Найдите производную функции
f (x)=(3x+1)5
а) f'(x)=3(3x+1)5
б) f'(x)=5(3x+1)4
в) f'(x)=15(3x+1)4
y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)
Для этого найдём значение функции в точке х₀
f(1)=(2*1)/(4*1-2)=2/2=1,
и значение производной в этой точке
f'(x₀)=((2x)/(4x-2))'=((2x)'*(4x-2)-(2x)*(4x-2)')/(4x-2)²=(2*(4x-2)-(2x)*4)/(4x-2)²=
=-4/(4x-2)²
f'(1)=-4/(4*1-2)²=-4/4=-1
Уравнение касательной будет выглядеть так:
y=1+(-1)*(x-1)=1-x+1=2-x
Получаем что при х=0 у=2, а при у=0 х=2. Значит треугольник равносторонний с боковыми сторонами равными 2 ед. и прямоугольный, так как ограничен осями координат. По формуле площади прямоугольного треугольника находим площадь:
S=(1/2)*2*2=2 ед².
Решение:
Найдем уравнение касательной к графику функции
у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1.
Уравнение касательной записывается по формуле
y(x)=y'(x₀)(x-x₀)+y(x₀)
Найдем значение y(x₀)
y(x₀) = х₀/(2х₀ — 1)
Так как х₀=1, то
y(1) = 1/(2*1 — 1)=1
Найдем производную функции
Значение производной функции в точке x₀=1
y'(1)=-1/(2*1-1)²=-1
Запишем уравнение касательной
y =-(x-1)+1=-x+2
Данная прямая имеет две точки пересечения с осями координат
При х=0 у=2 и х=2 у=0
(0;2) и (2;0)
Найдем площадь треугольника через интеграл так как площадь фигуры ограничена прямой касательной с пределами интегрирования от х₁=0 до х₂=2
Или найти площадь прямоугольного треугольника( так как оси координат имеют угол 90⁰) с катетами равными 2
S=(a*b)/2=2*2/2=2
ответ: S=2