1. Найдите углы правильного сорокапятиугольника. 2. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см. 3. Около окружности описан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону квадрата , вписанного в эту окружность. 4. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 5 см, а сторона многоугольника - 10 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника. 5. Сторона треугольника равна 8 √2 см, а прилежащие к ней углы равны 35° и 100°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.
- Формула суммы углов в полигоне: (n-2) * 180, где n - количество сторон полигона.
- Делим сумму углов на количество сторон, чтобы найти один угол: ((n-2) * 180) / n.
Для сорокапятиугольника:
- n = 45
- Угол = ((45-2) * 180) / 45 = 172°
Ответ: Угол правильного сорокапятиугольника составляет 172°.
2. Для нахождения площади круга, вписанного в правильный шестиугольник, нужно знать радиус.
- Радиус вписанной окружности равен половине длины стороны правильного многоугольника.
- Длина стороны правильного шестиугольника = 10 см
Радиус вписанной окружности = 10 / 2 = 5 см
Площадь круга рассчитывается по формуле: S = π * r^2
- r = 5 см
Площадь круга = π * (5^2) = 25π см^2
Ответ: Площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, равна 25π см^2.
3. Для нахождения стороны квадрата, вписанного в описанную около правильного треугольника окружность, нужно знать радиус описанной окружности.
- Радиус описанной окружности в равностороннем треугольнике равен длине стороны треугольника, деленной на √3.
Длина стороны равностороннего треугольника = 18 см
Радиус описанной окружности = 18 / √3 = 6√3 см
Сторона квадрата, вписанного в описанную около треугольника окружность, равна диаметру окружности.
- Диаметр = 2 * радиус
Сторона квадрата = 2 * 6√3 см = 12√3 см
Ответ: Сторона квадрата, вписанного в описанную около правильного треугольника окружность, равна 12√3 см.
4. Для нахождения радиуса окружности, описанной около правильного многоугольника, нужно знать радиус вписанной окружности и количество его сторон.
- Радиус описанной окружности равен половине стороны многоугольника, поделенной на синус половинного угла между сторонами многоугольника.
- Количество сторон многоугольника равно количеству углов многоугольника.
Радиус вписанной окружности = 5 см
Строны многоугольника = 10 см
Количество сторон = ?
Для нахождения количества сторон многоугольника используем формулу: n = 360 / угол
Угол = 180 - (360 / n), где n - количество сторон.
Радиус описанной окружности = (10/2) / sin(180 - (360/n))
Подставим известные значения:
5 = (10/2) / sin(180 - (360/n))
Упростим уравнение и решим его:
10 = 10 / sin(180 - (360/n))
sin(180 - (360/n)) = 1
180 - (360/n) = 90
- (360/n) = -90
360/n = 90
n = 360 / 90
n = 4
Ответ: 1) Радиус окружности, описанной около многоугольника, равен 5 см. 2) Количество сторон многоугольника равно 4.
5. Для нахождения длин дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины, нужно знать радиус описанной окружности и углы треугольника.
- Длина дуги рассчитывается по формуле: длина дуги = раудиус * угол в радианах
Углы треугольника = 35°, 100°
Для перевода углов из градусов в радианы, умножим их на π/180.
Углы в радианах: 35° * π/180, 100° * π/180
Радиус описанной окружности = сторона треугольника / (2 * sin(угол в радианах))
Радиус описанной окружности = 8√2 /(2 * sin(35° * π/180))
Подставим значение угла в радианах и рассчитаем радиус описанной окружности.
- sin(35° * π/180) ≈ 0.5736
Радиус описанной окружности = 8√2 /(2 * 0.5736)
Длина дуги = (Радиус описанной окружности) * (угол в радианах)
Длина дуги = (8√2 /(2 * 0.5736)) * (35° * π/180)
Длина дуги ≈ 17.42 см
Для другого угла 100°:
- sin(100° * π/180) ≈ 0.9848
Радиус описанной окружности = 8√2 /(2 * 0.9848)
Длина дуги = (Радиус описанной окружности) * (угол в радианах)
Длина дуги = (8√2 /(2 * 0.9848)) * (100° * π/180)
Длина дуги ≈ 26.92 см
Ответ: Длина дуги, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины, составляет примерно 17.42 см и 26.92 см.