1. найти комплексные корни квадратного уравнения x2+4x+13=0,и и изобразить их на комплексной плоскости.2. пусть z1=3-2i; z2=4+3i. вычислить a) z1+z2; b) z1-z2; c) z1×z2; d) z1/z2.3. вычислить i58.4. найти модуль комплексного числа: 3+4i.
Добрый день! Давайте по порядку решим каждый из вопросов.
1. Для того чтобы найти комплексные корни квадратного уравнения x^2 + 4x + 13 = 0, мы можем использовать формулу дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.
В нашем случае a = 1, b = 4, c = 13.
D = 4^2 - 4*1*13 = 16 - 52 = -36
Так как дискриминант отрицательный, то у нас будут два комплексных корня.
Для их нахождения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
x1,2 = (-b ± √D) / 2a
Таким образом, комплексные корни квадратного уравнения x^2 + 4x + 13 = 0 равны -2 + 3i и -2 - 3i. Чтобы изобразить их на комплексной плоскости, мы можем провести две точки на числовой оси, где ось Ox - действительная часть комплексного числа, а ось Oy - мнимая часть. Так как наши корни комплексные, они будут лежать не на одной прямой, а на противоположных сторонах от оси Ox.
Таким образом, первая точка будет иметь координаты (-2, 3), а вторая (-2, -3):
|
|
3 | x
|
|
0 |___________
-2 -2
2. Теперь перейдем ко второму вопросу.
a) Для вычисления суммы z1 + z2 сложим между собой действительные и мнимые части обоих чисел:
z1 + z2 = (3 - 2i) + (4 + 3i) = (3 + 4) + (-2 + 3)i = 7 + i
b) Для вычисления разности z1 - z2 вычтем из первого числа второе:
z1 - z2 = (3 - 2i) - (4 + 3i) = 3 - 2i - 4 - 3i = -1 - 5i
c) Для вычисления произведения z1 * z2 умножим между собой действительные и мнимые части обоих чисел:
z1 * z2 = (3 - 2i) * (4 + 3i) = 3*4 + 3*3i - 2i*4 - 2i*3i = 12 + 9i - 8i - 6i^2
Так как i^2 = -1, то получаем:
12 + i - 8i + 6 = 18 - 7i
d) Для вычисления частного z1 / z2 поделим между собой действительные и мнимые части обоих чисел:
z1 / z2 = (3 - 2i) / (4 + 3i)
Чтобы выполнить данное деление, умножим оба числа на сопряженное комплексное число:
z1 / z2 = (3 - 2i) * (4 - 3i) / (4 + 3i) * (4 - 3i)
= (12 - 9i - 8i + 6i^2) / (16 - 12i + 12i - 9i^2)
Так как i^2 = -1, то получаем:
= (12 - 17i + 6i^2) / (16 + 9)
= (12 - 17i - 6) / 25
= (6 - 17i) / 25
3. Для вычисления i^58 вспомним, что i - мнимая единица, которая возводится в степень кратную 4. Таким образом, i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1.
Теперь мы можем представить i^58 как 58 = 4 * 14 + 2:
i^58 = (i^4)^14 * i^2 = 1^14 * i^2 = 1 * -1 = -1
1. Для того чтобы найти комплексные корни квадратного уравнения x^2 + 4x + 13 = 0, мы можем использовать формулу дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.
В нашем случае a = 1, b = 4, c = 13.
D = 4^2 - 4*1*13 = 16 - 52 = -36
Так как дискриминант отрицательный, то у нас будут два комплексных корня.
Для их нахождения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
x1,2 = (-b ± √D) / 2a
x1 = (-4 + √(-36)) / 2*1 = (-4 + 6i) / 2 = -2 + 3i
x2 = (-4 - √(-36)) / 2*1 = (-4 - 6i) / 2 = -2 - 3i
Таким образом, комплексные корни квадратного уравнения x^2 + 4x + 13 = 0 равны -2 + 3i и -2 - 3i. Чтобы изобразить их на комплексной плоскости, мы можем провести две точки на числовой оси, где ось Ox - действительная часть комплексного числа, а ось Oy - мнимая часть. Так как наши корни комплексные, они будут лежать не на одной прямой, а на противоположных сторонах от оси Ox.
Таким образом, первая точка будет иметь координаты (-2, 3), а вторая (-2, -3):
|
|
3 | x
|
|
0 |___________
-2 -2
2. Теперь перейдем ко второму вопросу.
a) Для вычисления суммы z1 + z2 сложим между собой действительные и мнимые части обоих чисел:
z1 + z2 = (3 - 2i) + (4 + 3i) = (3 + 4) + (-2 + 3)i = 7 + i
b) Для вычисления разности z1 - z2 вычтем из первого числа второе:
z1 - z2 = (3 - 2i) - (4 + 3i) = 3 - 2i - 4 - 3i = -1 - 5i
c) Для вычисления произведения z1 * z2 умножим между собой действительные и мнимые части обоих чисел:
z1 * z2 = (3 - 2i) * (4 + 3i) = 3*4 + 3*3i - 2i*4 - 2i*3i = 12 + 9i - 8i - 6i^2
Так как i^2 = -1, то получаем:
12 + i - 8i + 6 = 18 - 7i
d) Для вычисления частного z1 / z2 поделим между собой действительные и мнимые части обоих чисел:
z1 / z2 = (3 - 2i) / (4 + 3i)
Чтобы выполнить данное деление, умножим оба числа на сопряженное комплексное число:
z1 / z2 = (3 - 2i) * (4 - 3i) / (4 + 3i) * (4 - 3i)
= (12 - 9i - 8i + 6i^2) / (16 - 12i + 12i - 9i^2)
Так как i^2 = -1, то получаем:
= (12 - 17i + 6i^2) / (16 + 9)
= (12 - 17i - 6) / 25
= (6 - 17i) / 25
3. Для вычисления i^58 вспомним, что i - мнимая единица, которая возводится в степень кратную 4. Таким образом, i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1.
Теперь мы можем представить i^58 как 58 = 4 * 14 + 2:
i^58 = (i^4)^14 * i^2 = 1^14 * i^2 = 1 * -1 = -1
4. Для вычисления модуля комплексного числа 3 + 4i воспользуемся формулой модуля:
|a + bi| = √(a^2 + b^2)
|3 + 4i| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
Таким образом, мы рассмотрели и решения все поставленные задачи. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!