1. По кругу сидят рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы, которые всегда лгут
– всего 2020 человек. Каждый из них знает всех, за исключением своих ближайших
соседей. Все люди по очереди сказали: «Всех, кого я знаю, лжецы». Сколько рыцарей
может сидеть за столом?
2. Две тысячи двадцать парламентариев сидят в прямоугольном зале в 40 рядах по 55
кресла в каждом. Парламентарий считает себя низкооплачиваемым, если получает
зарплату, меньшую, чем все его соседи (спереди, сзади, справа, слева и по
диагоналям) Какое наибольшее число низкооплачиваемых парламентариев может
быть в этом зале?
3. Обозначим через П(n) произведение цифр натурального числа n. В ряд выписали
числа П(2020), П(2021), П(2022)….. Какое наибольшее число подряд идущих членов
получившейся последовательности могут оказаться последовательными
натуральными числами?
4. Незнайка утверждает, что в компании, состоящей из а) 2019; б)2020 человек, по
крайней мере двое имеют одинаковое число знакомых среди членов этой компании.
Прав ли Незнайка?
5. Среди 16 внешне одинаковых монет есть ровно одна фальшивая, которая весит
меньше настоящих. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах
без гирь можно определить фальшивую монету? (Весы не имеют делений, а только
показывают равенство чаш или какая чаша перевесила.)
6. На листе бумаги нарисован правильный треугольник со стороной,
равной n. После этого рисунок разбит на единичные треугольники,
как показано на рисунке для n=3. Сколько различных треугольников
вы сможете найти на этом рисунке? Треугольники считаются
различными, если они различаются либо по размерам, либо по расположению.
а) Решите эту задачу для n=3, 4, 5.
б) Выведите формулу для определения числа треугольников в зависимости от
величины n.
После покорения пограничных провинций и крепости Аорн весной 326 г. до н. э. Александр стал готовиться к переправе через Инд. Там начиналась «страна чудес». Оправдывала ли она свое название? Сказочные сюжеты лучше всего расцветают за пределами реальной, хорошо знакомой действительности.
Если эти границы отодвигаются, то отодвигается и «страна чудес». Там, где кончалась область хорошо известного, греки начинали выдумывать:
на востоке - амазонок, на севере - грифов, стерегущих золото, а на крайнем юге - удивительные сказки об Эфиопии.
Со времен Кира великое царство персов распространилось во все стороны, и с ним ознакомились эллины. Вся Передняя Азия стала теперь легкодоступной, но Индия оставалась неведомой «сказочной страной Востока». До Александра лишь один эллин посетил эту таинственную страну и мог рассказать о ней. Это был Скилак из Карианды. Его послал Дарий. Он спустился на корабле по Инду и доплыл до Египта.
Таким образом, он познакомился с Индией - с долиной Инда и с пустыней к юго-востоку от него. О регионе Декана восточнее Инда и об области Ганга он ничего не знал. Индия кончалась для него пустыней и казалась не столь уж огромной. Обо всем, что он видел, Скилак рассказал без прикрас, по-деловому.
Однако он верил всевозможным измышлениям индийцев и повторял их сказки о карликах, ушастых и темных людях.
В течение долгого времени никаких новых сведений о Дальнем Востоке не поступало. Правда, Дарий покорил пограничные с Индом области, но впоследствии они были вновь утрачены. Греки, во всяком случае, туда больше не попадали. Когда Гекатей составлял свое описание земли, он' тоже опирался на Скилака.
Геродот, создавая свою «Всемирную историю» , материал о Дальнем Востоке черпал у Гекатея, т. е. у того же Скилака. Возможно, что о некоторых вещах он расспрашивал персов, но они и сами достоверно ничего не знали. «Отец истории» оказался в этом вопросе недоверчив и исключил немало фантастического.
Он охотно рассказывал об индийских псах, о хлопке, о бамбуке, о численности населения, а также об обилии золота. Лишь его сообщения о поедании больных и старых родителей основаны, по-видимому, на недоразумении и относятся к миру фантазии.
почти пятьдесят лет между работой Гекатея и написанной Ктесием первой монографией об Индии. Это ему Индия обязана своей репутацией сказочной «страны чудес». Ктесий был личным врачом Великого царя и расспрашивал всех индийцев, посещавших царский двор. Те заметили, что ионийцу нравится все удивительное, и стали потчевать его всевозможными «чудесами».
Теперь он узнал еще больше о карликах, вислоухих и темноногих людях с собачьими головами, чудесных источниках, волшебных кольцах, о дереве, корни которого притягивают металлы, а также птиц и овец.
Сторожащих золото грифов тоже переселили в Индию рассказывали, что слоны разрушают стены вокруг городов что солнце в Индии будто бы в десять раз больше, чем в других местах, а море такое горячее, что рыба от жары, уходит на глубину что страна необыкновенно огромна и населена бесчисленным множеством людей.
Описание изобиловало превосходными степенями, и Ктесий, по-видимому, немало добавил от себя, чтобы почаще вызывать удивление читателей. Цветистая индийская фантазия перевита у него с легендами пародов Средиземноморья. Таким образом, нам приходится продираться сквозь настоящие дебри всякого рода вымыслов.
Такой представляли себе Индию греки, когда Александр начал свой поход. Более трезвые умы не слишком доверяли этим фантастическим россказням. Александр, например, не верил в невероятные размеры Индии. Однако все разделяли представление об Индии как, об отличной от остального мира стране, где можно встретить много таинственного и невиданного.
Кузнечик делает 7 прыжков, значит k = 7. Всевозможные точки, в которых может оказаться кузнечик, описываются формулой : 7+2n, -k≤n≤0.
Эти точки: -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7.
Всего из k+1 = 7+1 = 8.
ответ: 8.
Теперь рассмотрим, сколько существует точек, в которых кузнечик может оказаться, сделав 7 прыжков:
Пусть изначально кузнечик находится в точке 0.
Тогда после первого прыжка он может оказаться либо в точке 1, либо в точке -1. То есть всего 2 варианта: 1; -1.
2 прыжок: из точки 1 кузнечик может прыгнуть либо в 0, либо в 2. Из точки -1 - в точку -2 или 0. Поэтому всего 3 варианта: -2, 0, 2.
3 прыжок: из точки -2 кузнечик может попасть либо в -3, либо в -1; из точки 0 - либо в 1, либо в -1; из точки 2 - либо в 1, либо в 3. получаем 4 варианта: -3, -1, 1, 3.
4 прыжок: соответственно получаем 5 вариантов: -4, -2, 0, 2, 4.
5 прыжок: будет 6 вариантов: -5, -3, -1, 1, 3, 5.
6 прыжок: 8 вариантов: -6, -4, -5, -2, 0, 2, 4, 6.
7 прыжок: 10 вариантов: -7, -5, -3, -6, -4, -1, 1, 3, 5, 7