1. Под каким углом пересекаются параболы у=х^2 и у = х^3 2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
у =х^3+2х^2-4х-3 в точке (-2; 5).
3.Показать, что кривые у = 4х^2+2х-8 и у = x^3-x+10
касаются друг друга в точке (3; 34). Будет ли то же самое в точке
(-2; 4)?

1. Под каким углом пересекаются параболы у=х^2 и у = х^3 .

Угол в точке пересечения кривых равен углу между касательными к этим кривым в точке касания.

Точки пересечения: х^2 = х^3. Их 2: х = 0 и х = 1.

Тангенс угла наклона касательной равен производной в точке касания.

Производные: (х^2)' = 2x,  (х^3)' = 3x².

В точке х = 0 у них касательные совпадают с осью Ох. Нет угла между ними.

В точке х = 1: tg α1 = 2. tg α2 = 3.

tg(α2 - α1 ) = (3 - 2)/(1 + 3*2) = 1/7.

α2 - α1 = arc tg(1/7) = 0,141897 радиан или 8,13010 градуса.

2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой

у =х^3+2х^2-4х-3 в точке (-2; 5).

y' = 3x² + 4x - 4.  y(-2)' = 12 - 8 -4 = 0.

Значит, касательная горизонтальна. Её уравнение у = 5,

а уравнение нормали х = -2.

3.Показать, что кривые у = 4х^2+2х-8 и у = x^3-x+10

касаются друг друга в точке (3; 34). Будет ли то же самое в точке

(-2; 4)?

Находим производные.

1) y' = (4х^2+2х-8)' = 8x + 2, y(3)' = 24 + 2 = 26, y(3) = 34.

y(кас) = y'(x-xo) + yo = 26(x - 3) + 34 = 26x - 44.

2) у' = (x^3-x+10)' = 3x²  - 1, y(3)' 27 - 1 = 26, y(3) = 27-3+10 = 34.

y(кас) = y'(x-xo) + yo = 26(x - 3) + 34 = 26x - 44.

Как видим, касательные совпадают, значит, кривые в точке (3; 34) касаются друг друга.

Если определить то же самое для точки (-2; 4), то увидим, что касательные проходят под разными углами.

Значит, в точке (-2; 4) кривые пересекаются.