1. При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен: а) тремя станциями; б) не менее чем двумя станциями; в) ни одной станцией.
2. Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0,4 и 0,6 со-
ответственно. При обработке на первом станке вероятность брака составляет 2 %, на втором - 3
%. Найти вероятность того, что: а) наугад взятое после обработки изделие - стандартное; б) нау-
гад взятое после обработки стандартное изделие обработано на первом станке.
3. Вероятность работы каждого из сенаторов в данный момент равна 0,8. Найти вероятность то-
го, что в данный момент включены: а) хотя бы один мотор; б) два мотора; в) три мотора.
4. Вероятность появления событий в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероят-
ность того, что событие наступит 20 раз в 100 испытаниях.
5. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них одинаковой ве-
роятностью выходит на этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры
выдут на одном и том же этаже.
P(тремя станциями) = 0.7 * 0.8 * 0.9 = 0.504
Таким образом, вероятность того, что корабль будет обнаружен всеми тремя станциями, составляет 0.504.
Для нахождения вероятности обнаружения корабля не менее чем двумя станциями, мы можем использовать следующий подход: вероятность обнаружения корабля тремя станциями плюс вероятность обнаружения двумя станциями плюс вероятность обнаружения одной станцией.
P(не менее двух станций) = P(тремя станциями) + P(двумя станциями) + P(одной станцией)
= 0.504 + (0.7 * 0.2 * 0.1 * 3) + (0.7 * 0.8 * 0.1 * 3)
= 0.504 + 0.042 + 0.168
= 0.714
Таким образом, вероятность того, что корабль будет обнаружен не менее чем двумя станциями, составляет 0.714.
Для нахождения вероятности того, что корабль не будет обнаружен ни одной станцией, мы можем найти вероятность того, что корабль будет обнаружен хотя бы одной станцией и вычесть ее из 1:
P(ни одной станции) = 1 - P(хотя бы одной станции)
= 1 - [P(тремя станциями) + P(двумя станциями) + P(одной станцией)]
= 1 - (0.504 + 0.042 + 0.168)
= 1 - 0.714
= 0.286
Таким образом, вероятность того, что корабль не будет обнаружен ни одной станцией, составляет 0.286.
2. Для нахождения вероятности того, что после обработки изделие будет стандартным, мы должны учесть вероятности выбора каждого станка и вероятности брака каждого станка:
а) P(стандартное изделие) = P(обработано на первом станке) * P(стандартное | первый станок) + P(обработано на втором станке) * P(стандартное | второй станок)
= 0.4 * (1 - 0.02) + 0.6 * (1 - 0.03)
= 0.4 * 0.98 + 0.6 * 0.97
= 0.392 + 0.582
= 0.974
Таким образом, вероятность того, что после обработки изделие будет стандартным, составляет 0.974.
б) Для нахождения вероятности того, что стандартное изделие обработано на первом станке, мы должны учесть вероятности выбора каждого станка и при этом учитывать только те случаи, когда изделие является стандартным:
P(обработано на первом станке | стандартное изделие) = (P(обработано на первом станке) * P(стандартное изделие | первый станок)) / P(стандартное изделие)
= (0.4 * (1 - 0.02)) / 0.974
= 0.392 / 0.974
≈ 0.402
Таким образом, вероятность того, что стандартное изделие было обработано на первом станке, составляет около 0.402.
3. Для нахождения вероятности включенных моторов, мы можем использовать формулу биномиального распределения. Вероятность работы каждого сенатора - 0.8, и для каждого сенатора это независимое событие. В данном случае, нам нужно найти вероятность хотя бы одного, двух и трех моторов, поэтому мы будем использовать соответствующие формулы биномиального распределения:
а) P(хотя бы один мотор) = 1 - P(ноль моторов)
= 1 - (0.2)^3
= 1 - 0.008
= 0.992
Таким образом, вероятность того, что хотя бы один мотор включен, составляет 0.992.
б) P(два мотора) = (3 над 2) * (0.8)^2 * (0.2)^1
= 3 * 0.64 * 0.2
= 0.384
Таким образом, вероятность того, что два мотора включены, составляет 0.384.
в) P(три мотора) = (3 над 3) * (0.8)^3 * (0.2)^0
= 1 * 0.512 * 1
= 0.512
Таким образом, вероятность того, что три мотора включены, составляет 0.512.
4. Для нахождения вероятности того, что событие наступит 20 раз в 100 испытаниях, мы можем использовать формулу биномиального распределения:
P(20 раз в 100 испытаниях) = (100 над 20) * (0.2)^20 * (0.8)^80
Для вычисления этого значения нам понадобится помощь калькулятора или специального программного обеспечения, так как расчет может быть долгим и сложным.
5. Для нахождения вероятности того, что все пассажиры выйдут на одном и том же этаже, мы должны учесть, что каждый пассажир имеет одинаковую вероятность выйти на любом этаже, и перемножить эти вероятности для трех пассажиров:
P(все на одном этаже) = (1/6)^3
= 1/216
Таким образом, вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном и том же этаже, составляет 1/216.