1)производиться некоторый опыт, в котором случайное событие а может по-явиться с вероятностью 0,6. опыт повторяют при неизменных условиях 800 раз. какое отклонение относительной частоты появления события а от p=0,6 можно ожидать с ве-роятностью 0,8. 2)монета подброшена 8 раз. составить закон распределения числа выпавших «гербов», найти ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклоне-ние этой случайной величины.
1) Для решения этой задачи мы будем использовать нормальное распределение и правило двух сигм.
Первым шагом нужно найти стандартное отклонение для относительной частоты появления события а. Формула для расчета стандартного отклонения (σ) в данном случае будет следующей:
σ = √(p(1 - p) / n),
где p - вероятность события а (0,6), а n - количество опытов (800). Подставляем значения в формулу:
σ = √(0,6 * (1 - 0,6) / 800) ≈ 0,0155.
Теперь мы можем найти значение z-критерия для заданной вероятности 0,8. Для этого будем использовать таблицу нормального распределения. Найдем значение, в пределах которого находится 80% вероятности. Для этого найдем значение z, при котором площадь под кривой левее z равна 0,1. По таблице нормального распределения получаем значение z ≈ 1,28.
Теперь мы можем найти отклонение относительной частоты. Формула для расчета отклонения относительной частоты (δ) будет следующей:
δ = z * σ.
Подставляем значения в формулу:
δ = 1,28 * 0,0155 ≈ 0,0198.
Таким образом, с вероятностью 0,8 отклонение относительной частоты появления события а от p=0,6 составит примерно 0,0198.
2) Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение.
Закон распределения числа выпавших "гербов" можно составить с помощью формулы:
P(k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),
где P(k) - вероятность выпадения k "гербов", C(n, k) - количество комбинаций из n по k, p - вероятность выпадения "герба" (0,5), а n - общее количество испытаний (8).
Теперь найдем вероятность выпадения каждого возможного количества "гербов" от 0 до 8:
P(0) = C(8, 0) * (0,5)^0 * (1 - 0,5)^(8 - 0) ≈ 0,0039,
P(1) = C(8, 1) * (0,5)^1 * (1 - 0,5)^(8 - 1) ≈ 0,0313,
P(2) = C(8, 2) * (0,5)^2 * (1 - 0,5)^(8 - 2) ≈ 0,1094,
P(3) = C(8, 3) * (0,5)^3 * (1 - 0,5)^(8 - 3) ≈ 0,2188,
P(4) = C(8, 4) * (0,5)^4 * (1 - 0,5)^(8 - 4) ≈ 0,2734,
P(5) = C(8, 5) * (0,5)^5 * (1 - 0,5)^(8 - 5) ≈ 0,2188,
P(6) = C(8, 6) * (0,5)^6 * (1 - 0,5)^(8 - 6) ≈ 0,1094,
P(7) = C(8, 7) * (0,5)^7 * (1 - 0,5)^(8 - 7) ≈ 0,0313,
P(8) = C(8, 8) * (0,5)^8 * (1 - 0,5)^(8 - 8) ≈ 0,0039.
Теперь мы можем найти ожидание (среднее значение), дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Ожидание (E) будет равно:
E = Σ(k * P(k)),
где Σ обозначает сумму по всем значениям k. Вычисляем:
E = 0 * P(0) + 1 * P(1) + 2 * P(2) + 3 * P(3) + 4 * P(4) + 5 * P(5) + 6 * P(6) + 7 * P(7) + 8 * P(8) ≈ 4.
Дисперсия (D) будет равна:
D = Σ((k - E)^2 * P(k)),
где Σ обозначает сумму по всем значениям k. Вычисляем:
D = (0 - 4)^2 * P(0) + (1 - 4)^2 * P(1) + (2 - 4)^2 * P(2) + (3 - 4)^2 * P(3) + (4 - 4)^2 * P(4) + (5 - 4)^2 * P(5) + (6 - 4)^2 * P(6) + (7 - 4)^2 * P(7) + (8 - 4)^2 * P(8) ≈ 2,
и, наконец, среднее квадратичное отклонение (σ) будет равно:
σ = √D ≈ √2 ≈ 1,41.
Таким образом, в результате подбрасывания монеты 8 раз, среднее количество выпавших "гербов" будет около 4, дисперсия будет около 2, а среднее квадратичное отклонение около 1,41.