№1. Проверить, что функция F(x) есть первообразная для f(x):
1) F(x) = x3-2x+1 f(x)=3x2-2
2) F(x)= x4-7 f(x)=4x3
3) F(x)=10 f(x)=0
4) F(x)= f(x)=1/2 x€(0;+ )
5) F(x) =10x10 f(x)=200x19
№2. Выбрать правильные ответы:
1. Множество всех первообразных функции y =2x имеет вид …
A. x2; Б. 2x2 +C ; В.2; Г. x2 +C; Д. 2 + x.
2. Множество всех первообразных функции y = sinx имеет вид …
A. sinx; Б.cosx ; В.cosx +C; Г.–cosx +C; Д.sinx +C.
3. Множество всех первообразных функции y = cosx имеет вид …
A. sinx; Б.cosx +C; В. – cosx +C; Г. sinx + C.
4. Множество всех первообразных функции y = x2 имеет вид …
B. 3x +C; Б.2x; В. x3 +C; Г. x3 /3 +C.
5. Множество всех первообразных функции y = x4 имеет вид …
C. 3x +C; Б.4x; В. x5 +C; Г. x5 /5 +C.
№3. Для функции f(x) = 1 – x2 найти первообразную, график которой проходит через точку М (-3, 9).
1) F(x) = x^3 - 2x + 1, f(x) = 3x^2 - 2
F'(x) = 3x^2 - 2, что равно f(x), следовательно, F(x) является первообразной для f(x).
2) F(x) = x^4 - 7, f(x) = 4x^3
F'(x) = 4x^3, что равно f(x), следовательно, F(x) является первообразной для f(x).
3) F(x) = 10, f(x) = 0
F'(x) = 0, что равно f(x), следовательно, F(x) является первообразной для f(x).
4) F(x) = 1/2 x (в промежутке (0, +∞)), f(x) = 1/2 x
F'(x) = 1/2, что равно f(x), следовательно, F(x) является первообразной для f(x).
5) F(x) = 10x^10, f(x) = 200x^19
F'(x) = 200x^19, но f(x) = 200x^19, а не 200x^19, следовательно, F(x) НЕ является первообразной для f(x).
Ответ: 1), 2), 3), 4).
№2. Выберите правильные ответы:
1. Множество всех первообразных функции y = 2x имеет вид…
B. 2x^2 + C
2. Множество всех первообразных функции y = sinx имеет вид…
В. cosx + C
3. Множество всех первообразных функции y = cosx имеет вид…
A. sinx + C
4. Множество всех первообразных функции y = x^2 имеет вид…
В. x^3 + C
5. Множество всех первообразных функции y = x^4 имеет вид…
В. x^5 + C
Ответ: B, В, A, В, В.
№3. Для функции f(x) = 1 - x^2 нам нужно найти первообразную, график которой проходит через точку M (-3, 9).
Для нахождения первообразной функции, мы будем интегрировать f(x) и добавим постоянную C для общего решения.
Интегрируем функцию f(x) = 1 - x^2:
∫ (1 - x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C
Теперь, чтобы найти значение постоянной C, подставим координаты точки M (-3, 9):
9 = (-3) - (1/3)(-3)^3 + C
9 = -3 + 9 - 9 + C
9 = C
Таким образом, первообразная функции f(x) = 1 - x^2, которая проходит через точку М (-3, 9), равна:
F(x) = x - (1/3)x^3 + 9
Ответ: F(x) = x - (1/3)x^3 + 9