1) sin(8x-п/3)=0:
Для решения этого уравнения, нужно найти все значения x, при которых sin(8x-п/3) равно 0.
sin(8x-п/3) равно 0 когда:
8x-п/3 = 0 или 8x-п/3 = п
Для первого уравнения:
8x-п/3 = 0
Добавляем п/3 к обеим сторонам:
8x = п/3
Делим обе стороны на 8:
x = п/24
Для второго уравнения:
8x-п/3 = п
Добавляем п/3 к обеим сторонам:
8x = 4п/3
Делим обе стороны на 8:
x = п/6
Ответ: x = п/24 и x = п/6
2) cos(x/6+п/4)=корень2/2:
Для решения этого уравнения, нужно найти все значения x, при которых cos(x/6+п/4) равно корень2/2.
cos(x/6+п/4) равно корень2/2 когда:
x/6+п/4 = π/4 или x/6+π/4 = 7π/4
Для первого уравнения:
x/6+п/4 = π/4
Вычитаем п/4 с обеих сторон:
x/6 = 0
x = 0
Для второго уравнения:
x/6+π/4 = 7π/4
Вычитаем π/4 с обеих сторон:
x/6 = 6π/4
Делим обе стороны на 6:
x = 3π/2
Ответ: x = 0 и x = 3π/2
3) tg²4x+tg4x = 0:
Для решения этого уравнения, нужно найти все значения x, при которых tg²4x + tg4x равно 0.
Разложим tg²4x на sin²4x/cos²4x:
(sin²4x/cos²4x) + tg4x = 0
Домножаем обе стороны на cos²4x:
sin²4x + tg4x*cos²4x = 0
sin²4x + (sin4x/cos4x)*(1-cos²4x) = 0
sin²4x + sin4x - sin4x*cos²4x = 0
sin4x * (sin4x + 1 - cos²4x) = 0
sin4x * (sin4x + sin²4x) = 0
sin4x * (sin²4x + sin4x) = 0
sin4x * (sin4x)*(1 + sin4x) = 0
Отсюда следует, что одно из значений sin4x должно равняться 0 или -1.
Для sin4x = 0:
sin4x = 0
4x = π*n, где n - целое число
x = π*n/4, где n - целое число
Для sin4x = -1:
sin4x = -1
4x = -π/2 + 2π*n, где n - целое число
x = -π/8 + π*n/2, где n - целое число
Ответ: x = π*n/4, где n - целое число и x = -π/8 + π*n/2, где n - целое число
2) Решение неравенств:
1) cosx/7 ≤ 1/2:
Умножаем обе стороны на 7:
cosx ≤ 7/2
Чтобы найти значения x, при которых cosx меньше или равен 7/2, нужно найти все углы, у которых косинус меньше или равен 7/2. Однако, косинус значения не может быть больше 1, поэтому это неравенство не имеет решений.
Ответ: Нет решений.
2) ctg(7x+2п/3) > корень3/3:
Преобразуем неравенство, используя тангенс:
1/tg(7x+2п/3) > корень3/3
Инвертируем обе стороны:
tg(7x+2п/3) < корень3/3
Чтобы найти значения x, при которых тангенс меньше корень3/3, нужно найти все углы, у которых тангенс меньше корень3/3.
Однако, в данной ситуации тангенс значения не может быть больше 1, поэтому это неравенство не имеет решений.
Ответ: Нет решений.
3) Решение уравнений:
1) 4cos²x+4sinx-1=0:
Для решения этого уравнения, нужно найти значения x, при которых 4cos²x + 4sinx - 1 равно 0.
Раскрываем квадрат косинуса:
4(1 - sin²x) + 4sinx -1 = 0
4 - 4sin²x + 4sinx - 1 = 0
-4sin²x + 4sinx + 3 = 0
Домножаем обе стороны на -1:
4sin²x - 4sinx - 3 = 0
Разделяем переменные на две части:
(2sinx + 3)(2sinx - 1) = 0
Теперь решаем каждую часть отдельно:
2sinx + 3 = 0 или 2sinx - 1 = 0
Для первого уравнения:
2sinx + 3 = 0
2sinx = -3
sinx = -3/2
Для второго уравнения:
2sinx - 1 = 0
2sinx = 1
sinx = 1/2
Ответ: sinx = -3/2 и sinx = 1/2
2) 3sin²3x-2,5sin6x+1=0:
Для решения этого уравнения, нужно найти значения x, при которых 3sin²3x - 2,5sin6x + 1 равно 0.
Пусть a = sin3x, тогда a² = sin²3x.
Вместо sin²3x теперь можем использовать a².
Теперь у нас есть:
3a² - 2,5sin6x + 1 = 0
Как видим, данное уравнение сводится к квадратному уравнению с переменной a. Решим его:
3a² - 2,5sin6x + 1 = 0
Оно имеет два корня:
a₁ = (5 + корень37)/6 и a₂ = (5 - корень37)/6
Однако, мы хотим найти значения x, а не a. Подставим a = sin3x и найдем значения x.
Для a₁:
sin3x = (5 + корень37)/6
3x = arcsin((5 + корень37)/6)
x = arcsin((5 + корень37)/18)
Для a₂:
sin3x = (5 - корень37)/6
3x = arcsin((5 - корень37)/6)
x = arcsin((5 - корень37)/18)
Ответ: x = arcsin((5 + корень37)/18) и x = arcsin((5 - корень37)/18)
3) sin9x+sin8x+sin7x = 0:
Для решения этого уравнения, нужно найти значения x, при которых sin9x + sin8x + sin7x равно 0.
Так как sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ, мы можем применить это правило для преобразования данного уравнения.
Получившееся уравнение сложно решить аналитически. Мы можем примерно приблизить решения, используя метод численного приближения, такой как метод Ньютона.
Так как sinα = sinβ, α и β могут быть равны или их сумма может быть равна пи:
6x + п/3 = 8x или 6x + п/3 + 8x = п
Для первого уравнения:
6x + п/3 = 8x
Добавляем -6x к обеим сторонам:
п/3 = 2x
Делим обе стороны на 2:
п/6 = x
Для второго уравнения:
6x + п/3 + 8x = п
14x + п/3 = п
Вычитаем п/3 с обеих сторон:
14x = п - п/3
Упрощаем:
14x = 2п/3
Делим обе стороны на 14:
x = 2п/42
x = п/21
1) sin(8x-п/3)=0:
Для решения этого уравнения, нужно найти все значения x, при которых sin(8x-п/3) равно 0.
sin(8x-п/3) равно 0 когда:
8x-п/3 = 0 или 8x-п/3 = п
Для первого уравнения:
8x-п/3 = 0
Добавляем п/3 к обеим сторонам:
8x = п/3
Делим обе стороны на 8:
x = п/24
Для второго уравнения:
8x-п/3 = п
Добавляем п/3 к обеим сторонам:
8x = 4п/3
Делим обе стороны на 8:
x = п/6
Ответ: x = п/24 и x = п/6
2) cos(x/6+п/4)=корень2/2:
Для решения этого уравнения, нужно найти все значения x, при которых cos(x/6+п/4) равно корень2/2.
cos(x/6+п/4) равно корень2/2 когда:
x/6+п/4 = π/4 или x/6+π/4 = 7π/4
Для первого уравнения:
x/6+п/4 = π/4
Вычитаем п/4 с обеих сторон:
x/6 = 0
x = 0
Для второго уравнения:
x/6+π/4 = 7π/4
Вычитаем π/4 с обеих сторон:
x/6 = 6π/4
Делим обе стороны на 6:
x = 3π/2
Ответ: x = 0 и x = 3π/2
3) tg²4x+tg4x = 0:
Для решения этого уравнения, нужно найти все значения x, при которых tg²4x + tg4x равно 0.
Разложим tg²4x на sin²4x/cos²4x:
(sin²4x/cos²4x) + tg4x = 0
Домножаем обе стороны на cos²4x:
sin²4x + tg4x*cos²4x = 0
sin²4x + (sin4x/cos4x)*(1-cos²4x) = 0
sin²4x + sin4x - sin4x*cos²4x = 0
sin4x * (sin4x + 1 - cos²4x) = 0
sin4x * (sin4x + sin²4x) = 0
sin4x * (sin²4x + sin4x) = 0
sin4x * (sin4x)*(1 + sin4x) = 0
Отсюда следует, что одно из значений sin4x должно равняться 0 или -1.
Для sin4x = 0:
sin4x = 0
4x = π*n, где n - целое число
x = π*n/4, где n - целое число
Для sin4x = -1:
sin4x = -1
4x = -π/2 + 2π*n, где n - целое число
x = -π/8 + π*n/2, где n - целое число
Ответ: x = π*n/4, где n - целое число и x = -π/8 + π*n/2, где n - целое число
2) Решение неравенств:
1) cosx/7 ≤ 1/2:
Умножаем обе стороны на 7:
cosx ≤ 7/2
Чтобы найти значения x, при которых cosx меньше или равен 7/2, нужно найти все углы, у которых косинус меньше или равен 7/2. Однако, косинус значения не может быть больше 1, поэтому это неравенство не имеет решений.
Ответ: Нет решений.
2) ctg(7x+2п/3) > корень3/3:
Преобразуем неравенство, используя тангенс:
1/tg(7x+2п/3) > корень3/3
Инвертируем обе стороны:
tg(7x+2п/3) < корень3/3
Чтобы найти значения x, при которых тангенс меньше корень3/3, нужно найти все углы, у которых тангенс меньше корень3/3.
Однако, в данной ситуации тангенс значения не может быть больше 1, поэтому это неравенство не имеет решений.
Ответ: Нет решений.
3) Решение уравнений:
1) 4cos²x+4sinx-1=0:
Для решения этого уравнения, нужно найти значения x, при которых 4cos²x + 4sinx - 1 равно 0.
Раскрываем квадрат косинуса:
4(1 - sin²x) + 4sinx -1 = 0
4 - 4sin²x + 4sinx - 1 = 0
-4sin²x + 4sinx + 3 = 0
Домножаем обе стороны на -1:
4sin²x - 4sinx - 3 = 0
Разделяем переменные на две части:
(2sinx + 3)(2sinx - 1) = 0
Теперь решаем каждую часть отдельно:
2sinx + 3 = 0 или 2sinx - 1 = 0
Для первого уравнения:
2sinx + 3 = 0
2sinx = -3
sinx = -3/2
Для второго уравнения:
2sinx - 1 = 0
2sinx = 1
sinx = 1/2
Ответ: sinx = -3/2 и sinx = 1/2
2) 3sin²3x-2,5sin6x+1=0:
Для решения этого уравнения, нужно найти значения x, при которых 3sin²3x - 2,5sin6x + 1 равно 0.
Пусть a = sin3x, тогда a² = sin²3x.
Вместо sin²3x теперь можем использовать a².
Теперь у нас есть:
3a² - 2,5sin6x + 1 = 0
Как видим, данное уравнение сводится к квадратному уравнению с переменной a. Решим его:
3a² - 2,5sin6x + 1 = 0
Оно имеет два корня:
a₁ = (5 + корень37)/6 и a₂ = (5 - корень37)/6
Однако, мы хотим найти значения x, а не a. Подставим a = sin3x и найдем значения x.
Для a₁:
sin3x = (5 + корень37)/6
3x = arcsin((5 + корень37)/6)
x = arcsin((5 + корень37)/18)
Для a₂:
sin3x = (5 - корень37)/6
3x = arcsin((5 - корень37)/6)
x = arcsin((5 - корень37)/18)
Ответ: x = arcsin((5 + корень37)/18) и x = arcsin((5 - корень37)/18)
3) sin9x+sin8x+sin7x = 0:
Для решения этого уравнения, нужно найти значения x, при которых sin9x + sin8x + sin7x равно 0.
Так как sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ, мы можем применить это правило для преобразования данного уравнения.
sin9x + sin8x + sin7x = sin8xcosx + cos8xsinx + sin7x = (sin8xcosx + sin7x) + cos8xsinx = sin8xcosx + cos7xcosx + sin7x = cosx(sin8x + cos7x) + sin7x
Мы хотим, чтобы sin9x + sin8x + sin7x было равно 0, поэтому:
cosx(sin8x + cos7x) + sin7x = 0
(sin8x + cos7x)cosx = -sin7x
Получившееся уравнение сложно решить аналитически. Мы можем примерно приблизить решения, используя метод численного приближения, такой как метод Ньютона.
4) Вычисление:
1) sin(arcsin5/8):
sin(arcsin5/8) = 5/8
2) cos(arcsin5/13):
cos(arcsin5/13) = √(1 - (5/13)²) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13
5) Решение уравнения:
sin6x + корень3cos6x = -2cos8x:
Для решения этого уравнения, нужно найти значения x, при которых sin6x + корень3cos6x равно -2cos8x.
Перенесем все тригонометрические выражения на одну сторону:
sin6x + корень3cos6x + 2cos8x = 0
Теперь применим формулы сложения:
sin(6x + п/3) + 2cos8x = 0
sin(6x + п/3) = -2cos8x
sin(6x + п/3)² = (-2cos8x)²
sin²(6x + п/3) = 4cos²8x
1 - cos²(6x + п/3) = 4cos²8x
1 - (1 - sin²(6x + п/3)) = 4cos²8x
sin²(6x + п/3) = 4cos²8x
1 - cos²(6x + п/3) = 1 - sin²8x
cos²8x = cos²(6x + п/3)
Теперь мы имеем квадратные тригонометрические функции, и мы можем решить это с помощью приведения к общему знаменателю:
cos²8x = cos²(6x + п/3)
1 - sin²8x = 1 - sin²(6x + п/3)
sin²(6x + п/3) = sin²8x
sin(6x + п/3) = sin8x
Так как sinα = sinβ, α и β могут быть равны или их сумма может быть равна пи:
6x + п/3 = 8x или 6x + п/3 + 8x = п
Для первого уравнения:
6x + п/3 = 8x
Добавляем -6x к обеим сторонам:
п/3 = 2x
Делим обе стороны на 2:
п/6 = x
Для второго уравнения:
6x + п/3 + 8x = п
14x + п/3 = п
Вычитаем п/3 с обеих сторон:
14x = п - п/3
Упрощаем:
14x = 2п/3
Делим обе стороны на 14:
x = 2п/42
x = п/21
Ответ: x = п/6 и x = п/21