1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства х² + 8х ≤ 33. Какова вероятность того, что оно удовлетворяет неравенству │x-2│ ≤ 3?
2. Около прямоугольного треугольника АВС описана окружность радиуса 6,5. Один из катетов равен 5. Из вершины прямого угла провели высоту СН и медиану СМ. В треугольнике случайно отмечают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в треугольнике АСМ?
1.
Вычисляем сумму всех положительных членов арифметической прогрессии, которых всего 1008 чисел
(2015 + 1) * 1008/2 = 1016064
2.
Вычисляем сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии, которых всего 1007 чисел
(-2014 - 2) * 1007/2 = - 1015056
3.
Вычисляем искомую сумму всех чисел данного выражения
1016064 - 1015056 = 1008
ответ: 1008
Разбиваем на пары, где каждая пара равна 1.
(2015-2014) + (2013-2012) + (2011-2010) + (2009-1008) +...+(3-2) + 1 =
= 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 1 * (2015 - 1)/2 + 1 = 1 * 1007 + 1 = 1008
Пусть х - одна часть, тогда так как BN : NC =2 : 3, BN = 2x, NC = 3x, ⇒ BC = 5x.
BN : BC = 2 : 5.
Пусть у - одна часть, тогда так как AM : AB = 3 : 5, АМ = 3у, АВ = 5у, ⇒ ВМ = 2у.
BM : BA = 2 : 5.
Итак, BN : BC = 2 : 5, BM : BA = 2 : 5, угол при вершине В общий для треугольников АВС и MBN, ⇒
АВС и MBN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Значит, ∠BMN = ∠BAC, а эти углы - соответственные при пересечении прямых АС и MN секущей АВ, ⇒
MN ║ AC.
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости:
MN ║ AC, АС ⊂ α, ⇒ MN ║ α.
Так как треугольники АВС и MBN подобны, то
MN : AC = BM : BA = 2 : 5
MN = 2AC / 5 = 2 · 30 / 5 = 12 см