1.составить уравнение плоскости, проходящей через точки a(1; 2; 3) и b(-3; -2; -1) и начало координат. 2. вычислить площадь треугольника с вершинами a=(−4; 4; 4), b=(3; 1; 0), c=(−1; 0; 6).

1.Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки A(1;2;3) и B(-3;-2;-1) и начало координат.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:

|x -x1       y -y1        z - z1  |
|x2 - x1    y2 -y1      z2 - z1|  = 0
|x3 -x1     y3 - y1     z3 - z1|

|x - 1        y - 2          z - 3   |
|(-3) - 1   (-2) - 2       (-1) - 3| = 0
|0 - 1        0 - 2           0 - 3  |

|x - 1        y - 2            z -3 |
|-4             -4                 -4 |  = 0
|-1             -2                 -3 |

(x -1)((-4)·(-3)-(-4)·(-2)) - (y -2)((-4)·(-3)-(-4)·(-1)) + (z -3)((-4)·(-2)-(-4)·(-1)) = 0
4(x - 1) + (-8)(y - 2) + 4(z - 3) = 0
4x - 8y + 4z = 0  или, сократив на 4:
x - 2y + z = 0.

Эту же задачу можно решить через систему линейных уравнений:

Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
{A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 ,
{A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 ,
{A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 .
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
{A · (1) + B · (2) + C · (3) + D = 0 ,
{A · (-3) + B · (-2) + C · (-1) + D = 0 ,
{A · (0) + B · (0) + C · (0) + D = 0 .

Получим уравнение плоскости:
1 · x - 2 · y + 1 · z = 0 .

2. Вычислить площадь треугольника с вершинами
A=(−4;4;4), B=(3;1;0), C=(−1;0;6).
По координатам вершин находим длины сторон треугольника, далее полупериметр р, и по формуле Герона - площадь.
a(ВС)        b(АС)         c(АВ)         p             2p            S
7,28011  5,38516   8,602325   10,6338   21,2676      19,5.