1) Среднее арифметическое двух чисел равно 15. Одно из чисел в 1,5 раза больше другого. Найти эти числа. 2) Среднее арифметическое трёх чисел равно 20. Первое из них в два раза меньше второго и в девять раз меньше третьего. Найти эти числа.
а) Пусть геометрическая прогрессия имеет знаменатель . Тогда получим последовательность . Число 686 может быть записано на доске.
б) Заметим, что знаменатель прогрессии q не может быть иррациональным числом: в противном случае второй член прогрессии b₂ = 128q — иррациональное число, что противоречит условию. Значит, q — рациональное число.
Предположим, что 496 является n-ным членом последовательности. Тогда . Поскольку 31 — простое число, оно не является степенью какого-либо другого числа. Значит, n = 1, . Тогда получаем геометрическую прогрессию — третий член последовательности не трёхзначный, что противоречит условию. Значит, прогрессии с членом 496 не существует.
в) Пусть A — наибольший возможный член геометрической прогрессии, по условию A < 1000. Тогда . Число является степенью некоторого рационального числа, значит, , где k — некоторое целое число из промежутка [0, 7], a — положительное нечётное число. Число представимо в таком виде, поскольку на можно сократить, в знаменателе останется , далее дробь несократима и является степенью n = 7 - k числа q: . Значит, .
Переберём все k от 0 до 7:
k = 0: . k = 1: . k = 2: . k = 3: . k = 4: . k = 5: . k = 6: k = 7: — верно, A = 128.
Наибольшее значение A = 972. Покажем, что оно достигается. Пусть . Тогда
Таким образом, наибольшее число, которое могла выписать Даша — 972.
а) да; б) нет; в) 972
Пошаговое объяснение:
а) Пусть геометрическая прогрессия имеет знаменатель
. Тогда получим последовательность
. Число 686 может быть записано на доске.
б) Заметим, что знаменатель прогрессии q не может быть иррациональным числом: в противном случае второй член прогрессии b₂ = 128q — иррациональное число, что противоречит условию. Значит, q — рациональное число.
Предположим, что 496 является n-ным членом последовательности. Тогда
. Поскольку 31 — простое число, оно не является степенью какого-либо другого числа. Значит, n = 1,
. Тогда получаем геометрическую прогрессию
— третий член последовательности не трёхзначный, что противоречит условию. Значит, прогрессии с членом 496 не существует.
в) Пусть A — наибольший возможный член геометрической прогрессии, по условию A < 1000. Тогда
. Число
является степенью некоторого рационального числа, значит,
, где k — некоторое целое число из промежутка [0, 7], a — положительное нечётное число. Число представимо в таком виде, поскольку на
можно сократить, в знаменателе останется
, далее дробь несократима и является степенью n = 7 - k числа q:
. Значит,
.
Переберём все k от 0 до 7:
k = 0:Наибольшее значение A = 972. Покажем, что оно достигается. Пусть
. Тогда ![b_1=128,b_2=128\cdot\dfrac{3}{2}=192,b_3=128\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=288,b_4=128\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=432,\\b_5=128\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^4=648,b_6=128\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^5=972](/tpl/images/4748/1532/10b5b.png)
Таким образом, наибольшее число, которое могла выписать Даша — 972.
Пошаговое объяснение:
0,575кг = 575 г
0,6кг = 600 г
1 морковь = х г
1 картофелина = у г
5х + 2у = 575 | :5
4х + 3у = 600
х + 0,4у = 115
4х + 3у = 600
х = 115 - 0,4у
4х + 3у = 600
1)
4х + 3у = 600
4(115 - 0,4у) + 3у = 600
460 - 1,6у + 3у = 600
-1,6у + 3у = 600 - 460
1,4у = 140
у = 140 : 1,4
у = 100
2)
х = 115 - 0,4у
х = 115 - 0,4*100
х = 115 - 40
х = 75
1 морковь = (х) = 75 г
1 картофелина = (у) = 100 г
Проверка:
1) 5*75 + 2*100 = 375 + 200 = 575 г - весят 5 морковок и 2 картофелины
2) 4*75 + 3*100 = 300 + 300 = 600 г - весят 4 морковки и 3 картофелины