1)Точка М – середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М, если А(2; 0; 7), В(0; -3;-5); б) точки А, если В(0;4;0), М(3;1:1). 2) Даны векторы . Найдите: а) ; б) ; в) .
3) Даны точки Е(0;5;1), Т(6;-7;10), С(0;-19;0). Найдите: а) периметр треугольника ЕТС; б) медиану ТТ1 .
4*) Даны точки К(-4;7;0) и N(0;-1;2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка КN.
Координаты точки М будут равны:
x: (2 + 0) / 2 = 1
y: (0 + (-3)) / 2 = -1.5
z: (7 + (-5)) / 2 = 1
Таким образом, координаты точки М будут (1; -1.5; 1).
б) Чтобы найти координаты точки А, если известны координаты точек В и М, нужно удвоить значения соответствующих координат точки М и вычесть из них значения точки В.
Координаты точки А будут равны:
x: 2 * 2 - 0 = 4
y: 2 * (-1.5) - (-3) = -3
z: 2 * 1 - (-5) = 7
Таким образом, координаты точки А будут (4; -3; 7).
2) а) Чтобы найти вектор , нужно сложить соответствующие координаты векторов и .
Вектор будет равен:
x: 3 + (-2) = 1
y: 1 + 4 = 5
z: 1 + 0 = 1
Таким образом, вектор будет (1; 5; 1).
б) Чтобы найти вектор , нужно вычесть соответствующие координаты векторов и .
Вектор будет равен:
x: (-2) - 3 = -5
y: 4 - 1 = 3
z: 0 - 1 = -1
Таким образом, вектор будет (-5; 3; -1).
в) Чтобы найти вектор , нужно умножить каждую координату вектора на число 2.
Вектор будет равен:
x: 2 * 3 = 6
y: 2 * 1 = 2
z: 2 * 1 = 2
Таким образом, вектор будет (6; 2; 2).
3) а) Чтобы найти периметр треугольника ЕТС, нужно найти длины всех трех сторон треугольника и сложить их.
Сначала найдем длину стороны ЕТ. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
d(ЕТ) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
d(ЕТ) = √[(6 - 0)² + (-7 - 5)² + (10 - 1)²] = √[6² + (-12)² + 9²] = √[36 + 144 + 81] = √(261) ≈ 16.12
Теперь найдем длину стороны СТ:
d(СТ) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
d(СТ) = √[(0 - 6)² + (-19 - (-7))² + (0 - 10)²] = √[(-6)² + (-12)² + (-10)²] = √[36 + 144 + 100] = √(280) ≈ 16.73
И, наконец, найдем длину стороны СЕ:
d(СЕ) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
d(СЕ) = √[(0 - 0)² + (-19 - 5)² + (0 - 1)²] = √[(-19)² + (-14)² + (-1)²] = √[361 + 196 + 1] = √(558) ≈ 23.63
Теперь можно сложить длины всех трех сторон:
Периметр треугольника ЕТС = d(ЕТ) + d(СТ) + d(СЕ) ≈ 16.12 + 16.73 + 23.63 ≈ 56.48
б) Чтобы найти медиану ТТ1 треугольника ЕТС, нужно найти середину стороны ЕС (точку Т1), которая соединяет вершину Т с серединой стороны ЕС.
Для нахождения точки T1, нужно найти среднее арифметическое значений соответствующих координат точек Е и С:
Координаты точки T1 будут равны:
x: (0 + 0) / 2 = 0
y: (5 + (-19)) / 2 = -7
z: (1 + 0) / 2 = 0.5
Таким образом, координаты точки T1 будут (0; -7; 0.5).
Медиана ТТ1 треугольника ЕТС будет отрезком, соединяющим точку Т с точкой T1. Для нахождения длины медианы, можно воспользоваться формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
d(ТТ1) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
d(ТТ1) = √[(0 - 6)² + (-7 - (-7))² + (0.5 - 10)²] = √[(-6)² + 0² + (-9.5)²] = √[36 + 90.25] = √(126.25) ≈ 11.24
Таким образом, длина медианы ТТ1 треугольника ЕТС ≈ 11.24.
4*) Чтобы найти расстояние от начала координат до середины отрезка КN, нужно сначала найти координаты середины отрезка КN, а затем найти расстояние между началом координат и этой серединой.
Координаты середины отрезка КN будут равны среднему арифметическому значений соответствующих координат точек К и N:
x: (-4 + 0) / 2 = -2
y: (7 + (-1)) / 2 = 3
z: (0 + 2) / 2 = 1
Таким образом, координаты середины отрезка КN будут (-2; 3; 1).
Теперь можно найти расстояние между началом координат и этой серединой, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
d(начало координат, середина отрезка КN) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
d(начало координат, середина отрезка КN) = √[(-2 - 0)² + (3 - 0)² + (1 - 0)²] = √[(-2)² + 3² + 1²] = √[4 + 9 + 1] = √(14) ≈ 3.74
Таким образом, расстояние от начала координат до середины отрезка КN ≈ 3.74.