№ 1. Установите соответствие между выражениями (а – г) и равными им выражениями (1 – 6), используя правило раскрытия скобок:
а) m – (n + k) 1) – m – n + k
б) m · (n – k) 2) m – n – k
в) – m + (– n + k) 3) m · n – m · k
г) (m – n) + k 4) m – n + k
5) – m + n – k
6) m · n – k
№ 2. Вычислите наиболее простым
а) – 97 ∙ 10 + 47 ∙ 10
б) – 56 + 23 – (53 – 56)
в) – 47 + 36 + 47 – 86
г) (– 12 + 46) – (– 54 – 12)
№ 3. Изобразите координатную ось (единичный отрезок – 1 клетка
тетради).
1) Отметьте на ней точки:
А (– 5), В (7), С (– 4), D (10).
2) Вычислите длину отрезка:
а) ВС; б) СD.
№ 4. Вычислите: (– 121 : (– 11) – 14 ∙ (– 3)2 ) : (– 115)
№ 5. Вычислите: 56 ∙ 18 – 18 ∙ 42 – 14 ∙ 68.
Такой прямоугольник-единственный, соотношение сторон 13:1
Укажите все возможные отношения сторон (большая к меньшей) в таких прямоугольниках, если n=14.
14:1
7:2
В решении использован принцип площади искомого прямоугольника.
Нужно определить все возможные целые множители для числа 13 в первом случае (это числа 1 и 13) и для числа 14 (это пары чисел 1*14 и 7*2) во втором случае.
Пусть Петя принес A, Ваня B, Толя C книг.
Отсюда:
A=(B+C+65)/2 - (1)
B=(A+C+65)/3 - (2)
C=(A+B+65)/4 - (3)
Подставим значения (3) в уравнения (2) и (3):
A=(B+(A+B+65)/4+65)/2 - (4)
B=(A+(A+B+65)/4+65)/3 - (5)
Упростим (4):
A=(4B+A+B+65+260)/8
8A=4B+A+B+65+260
7A=5B+325 - (6)
Упростим (5):
B=(4A+A+B+65+260)/12
12B=4A+A+B+65+260
11B=5A+325
B=(5A+325)/11 - (7)
Подставим (7) в (6):
7A=(5(5A+325)/11 + 325)
7A=(25A+1625)/11 + 325
77A=25A+1625 + 3575
52A=5200
A=100
100 книг принес Петя.
Подставим значение А в (7):
B=(5*100+325)/11
B=825/11
B=75
75 книг принес Ваня.
Подставим значения A и В в (3):
C=(100+75+65)/4
C=240/4
C=60
60 книг принес Толя.
100+75+60+65=300
Петя, Ваня, Толя и Артем вместе принесли 300 книг.
Второй
Если Петя принес 1/2 часть от книг, принесенных другими ребятами, значит он принес 1/3 книг. Аналогично Ваня принес 1/4, а Толя 1/5. Получаем уравнение 1/3X+1/4X+1/5X+65=X. X-1/3X-1/4X-1/5X=65. (60-20-15-12)*X=65*60. 13X=65*60. X=5*60=300
Преобразование дробей во втором производится на основании нижеследующего доказательства.
N - общее количество книг.
A - количество учебников принесенных первым учеником.
B - количество учебников принесенных другими учениками.
A + B = N
Если первый ученик принес 1/2 часть от остальных тогда
2A = B
A + 2A = N
3A = N
A = N/3
Отсюда мы и выводим, что если ученик принес 1/X от количества учебников, принесенных другими учениками, значит он принес 1/(X+1) от количества учебников, принесенных всеми учениками.