1. В какой координатной плоскости расположена точка М( -3;0; 4)?
2. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(2;5; -2), В(- 2;3;0) ответ:
3. Запишите формулу расстоянияd между точками M(1; у 1 ; 1) и N(2; 2; 1) d =
4. В какой координатной плоскости расположена точка М( 0; 5; -4)?
5. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
6. Найдите координаты середины отрезка СР, если С(4;-1; 6), Р (-2; -3; 1)
7. Запишите формулу для вычисления длины отрезка АВ, если А(1; у 1 ; 1) и В(2; 2; 2):
8. Даны точки А(0;2;3), В(5;2;0), С(1;0;3), D(0;6;-3). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху; 2) на оси z; 3) в плоскости уz.
9. Даны точки А(0;2;3), В(5;2;0), С(1;0;3), D(0;6;-3). Найдите расстояние между точками А и В, А и С, С и D, В и D.
10. Даны точки А(0;2;3), В(5;2;0), С(1;0;3), D(0;6;-3). Найдите середины отрезков с концами А и В, А и С, С и D, В и D.
Обоснование: Координатная плоскость имеет три оси - ось x, ось y и ось z. Каждая координата точки М соответствует позиции точки по одной из осей. Так как точка М имеет значения координат (-3;0;4), это означает, что она находится на 3 единицы влево от начала оси x, находится на 0 единиц от начала оси y и находится на 4 единицы вперед от начала оси z.
2. Для нахождения координат середины отрезка АВ(2;5;-2) и В(-2;3;0) используется формула: (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2.
Решение:
Для координат x середины отрезка АВ: (2 + (-2))/2 = 0/2 = 0
Для координат y середины отрезка АВ: (5 + 3)/2 = 8/2 = 4
Для координат z середины отрезка АВ: (-2 + 0)/2 = -2/2 = -1
Ответ: Координаты середины отрезка АВ равны (0;4;-1).
3. Формула для расчета расстояния d между точками M(1;у1;1) и N(2;2;1) выглядит следующим образом:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
Подставим значения координат M и N в формулу:
d = √((2 - 1)^2 + (2 - у1)^2 + (1 - 1)^2)
Упростим формулу:
d = √(1 + (2 - у1)^2 + 0)
Ответ: Формула для расчета расстояния d между точками M(1;у1;1) и N(2;2;1) - d = √(1 + (2 - у1)^2).
4. Точка M(0;5;-4) расположена в трехмерной координатной плоскости.
Обоснование: Координатная плоскость имеет три оси - ось x, ось y и ось z. Каждая координата точки M соответствует позиции точки по одной из осей. Так как точка M имеет значения координат (0;5;-4), это означает, что она находится на 0 единиц от начала оси x, находится на 5 единиц вверх от начала оси y и находится на 4 единицы назад от начала оси z.
5. Координаты середины отрезка вычисляются по формуле: (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2.
6. Для нахождения координат середины отрезка СР(4;-1;6) и Р(-2;-3;1) используется формула: (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2.
Решение:
Для координат x середины отрезка СР: (4 + (-2))/2 = 2/2 = 1
Для координат y середины отрезка СР: (-1 + (-3))/2 = -4/2 = -2
Для координат z середины отрезка СР: (6 + 1)/2 = 7/2 = 3.5
Ответ: Координаты середины отрезка СР равны (1;-2;3.5).
7. Формула для вычисления длины отрезка АВ, если А(1;у1;1) и В(2;2;2), выглядит следующим образом:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
Подставим значения координат А и В в формулу:
d = √((2 - 1)^2 + (2 - у1)^2 + (2 - 1)^2)
Упростим формулу:
d = √(1 + (2 - у1)^2 + 1)
Ответ: Формула для вычисления длины отрезка АВ, если А(1;у1;1) и В(2;2;2) - d = √(1 + (2 - у1)^2 + 1).
8. Для каждой из точек (А, В, С, D) определим, в какой координатной плоскости их положение.
- Плоскость xy:
Точки, у которых z-координата равна 0, лежат в плоскости xy.
В данном случае только точка В(5;2;0) лежит в плоскости xy.
- Ось z:
Точки, у которых x- и y-координаты равны 0, лежат на оси z.
В данном случае ни одна из точек не лежит на оси z.
- Плоскость yz:
Точки, у которых x-координата равна 0, лежат в плоскости yz.
В данном случае только точка С(1;0;3) лежит в плоскости yz.
Ответ:
1) Точка В(5;2;0) лежит в плоскости xy.
2) Ни одна из точек не лежит на оси z.
3) Точка С(1;0;3) лежит в плоскости yz.
9. Для нахождения расстояния между точками используется формула:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
Вычислим расстояния между точками А и В, А и С, С и D, В и D.
а) Расстояние между точками А и В:
d = √((5 - 0)^2 + (2 - 2)^2 + (0 - 3)^2) = √(25 + 0 + 9) = √34
б) Расстояние между точками А и С:
d = √((1 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (3 - 3)^2) = √(1 + 4 + 0) = √5
в) Расстояние между точками С и D:
d = √((0 - 1)^2 + (6 - 0)^2 + (-3 - 3)^2) = √(1 + 36 + 36) = √73
г) Расстояние между точками В и D:
d = √((0 - 5)^2 + (6 - 2)^2 + (-3 - 0)^2) = √(25 + 16 + 9) = √50
Ответ:
a) Расстояние между точками А и В: √34
б) Расстояние между точками А и С: √5
в) Расстояние между точками С и D: √73
г) Расстояние между точками В и D: √50
10. Для нахождения середины отрезков с концами А и В, А и С, С и D, В и D используется формула: (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2.
Вычислим середины отрезков с концами А и В, А и С, С и D, В и D.
а) Середина отрезка АВ:
Для координат x середины: (0 + 5)/2 = 5/2 = 2.5
Для координат y середины: (2 + 2)/2 = 4/2 = 2
Для координат z середины: (3 + 0)/2 = 3/2 = 1.5
Ответ: Середина отрезка АВ имеет координаты (2.5;2;1.5).
б) Середина отрезка АС:
Для координат x середины: (0 + 1)/2 = 1/2 = 0.5
Для координат y середины: (2 + 0)/2 = 2/2 = 1
Для координат z середины: (3 + 3)/2 = 6/2 = 3
Ответ: Середина отрезка АС имеет координаты (0.5;1;3).
в) Середина отрезка СD:
Для координат x середины: (1 + 0)/2 = 1/2 = 0.5
Для координат y середины: (0 + 6)/2 = 6/2 = 3
Для координат z середины: (3 + -3)/2 = 0/2 = 0
Ответ: Середина отрезка СD имеет координаты (0.5;3;0).
г) Середина отрезка ВD:
Для координат x середины: (5 + 0)/2 = 5/2 = 2.5
Для координат y середины: (2 + 6)/2 = 8/2 = 4
Для координат z середины: (0 + -3)/2 = -3/2 = -1.5
Ответ: Середина отрезка ВD имеет координаты (2.5;4;-1.5).