1) в каждой из двух урн по 19 белых и 14 чёрных шаров. из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. найти вероятность того, что: а) вынутый из второй урны шар окажется чёрным; б) переложили белый шар при условии, что из второй урны вынут белый шар 2) в коробке первоначально находилось 19 цветных и 14 простых карандашей. один карандаш был потерян, и цвет его неизвестен. из коробки без возвращения извлечены два карандаша. найти вероятность того, что: а) извлечены два цветных карандаша; б) был потерян простой карандаш, если извлечены два простых карандаша. 3) слово истина составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. две карточки слова потеряны. из оставшихся карточек наугад извлекается одна карточка. найти вероятность того, что: а) извлечена гласная буква; б) были потеряны две согласные буквы, если извлечена гласная буква. 4) какова вероятность выпадения двойки при семи подбрасываниях правильной игральной кости а) два раза; б) от двух до четырёх раз; в) хотя бы два раза?
Лемма ученика 57 школы: 1+2+4+8+...+2^n= 2^(n+1)-1
Докажем по индукции:
База:
1 = 2-1
1+2 = 3 = 4-1
Шаг:
пусть для какого-то i верно, что 1+2+4+8+...+2^i=2^(i+1)-1
тогда 1+2+4+8+...+2^i+2^(i+1)=2^(i+1)+2^(i+1)-1=2^(i+2)-1
ч.т.д.
Теперь заметим, что если у нас есть 2^101 монет, то нам потребуется 101 взвешивание т.к. за 1 взвешивание мы отсекаем не больше половины монет.
Теперь заметим, как мы сможем взвесить 2^100+2^99+2^98++2+1
Взвесим первые 2^100 монет, разбив их на 2 кучки.
Если кучки весят одинаково(все монеты настоящие), то берем следующие 2^99, 2^98, и т.д.
Если первые 2+4+8+...2^100 монет настоящие, то последняя монета - фальшивая. пусть на i шаге нашлась кучка из 2^(100-i) монет, среди которых есть ненастоящяя. тогда у нас есть еще (100-i) взвешиваний, и мы сможем определить фальшивую монету.
По лемме ученика 57 школы 1+2++2^100= 2^101-1
а 2^101 монет быть не может.
ответ:2^101-1