1. В коробке некоторое количество цветных карандашей, пять из которых —красные. Известно, что вероятность вытащить наугад из коробки два красных карандаша равна 2/11. Сколько всего в коробке карандашей?
2. В некотором случайном опыте наступление события B увеличивает вероятность события A Докажите, что в этом случае наступление события A увеличивает вероятность события B.
1. Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности. Пусть n - общее количество карандашей в коробке.
Тогда вероятность вытащить первый красный карандаш равна 5/n, так как в коробке 5 красных карандашей.
После вытягивания первого красного карандаша, в коробке остается (n-1) карандашей, из которых 4 красных.
Таким образом, вероятность вытащить второй красный карандаш, при условии что первый красный уже вытащен, равна 4/(n-1).
Теперь воспользуемся формулой условной вероятности. Вероятность вытащить два красных карандаша равна произведению вероятности вытащить первый красный и вероятности вытащить второй красный при условии, что первый красный вытащен: (5/n) * (4/(n-1)).
Так как дано, что эта вероятность равна 2/11, можем записать уравнение:
(5/n) * (4/(n-1)) = 2/11.
Решим это уравнение относительно n:
(5/n) * (4/(n-1)) = 2/11,
(5 * 4)/(n * (n-1)) = 2/11,
20/(n^2 - n) = 2/11,
20 * 11 = 2 * (n^2 -n),
220 = 2n^2 - 2n,
2n^2 - 2n - 220 = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение. можно применить формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(2)(-220) = 4 + 1760 = 1764.
Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:
n_1 = (-(-2) + √1764) / (2*2) = (2 + 42) / 4 = 44 / 4 = 11,
n_2 = (-(-2) - √1764) / (2*2) = (2 - 42) / 4 = -40 / 4 = -10.
Поскольку в нашей задаче количество карандашей не может быть отрицательным, отбрасываем корень n_2 = -10.
Итак, количество карандашей в коробке равно 11.
2. Чтобы доказать, что наступление события A увеличивает вероятность события B, мы должны показать, что вероятность события B при условии, что наступило событие A, больше вероятности события B без условия наступления события A.
По определению условной вероятности, вероятность события B при условии наступления события A вычисляется как отношение вероятности одновременного наступления событий A и B к вероятности наступления события A:
P(B|A) = P(A∩B) / P(A).
Также, если наступление события B увеличивает вероятность наступления события A, то по определению, вероятность события A при условии наступления события B вычисляется как отношение вероятности одновременного наступления событий A и B к вероятности наступления события B:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B).
Нам нужно доказать, что P(B|A) > P(B), что означает, что наступление события A увеличивает вероятность наступления события B.
Подставим значения P(A∩B), P(A), и P(B) в формулу условной вероятности:
P(B|A) = P(A∩B) / P(A),
P(B|A) > P(B),
(P(A∩B) / P(A)) > P(B),
P(A∩B) > P(B) * P(A).
Мы видим, что если P(A∩B) > P(A) * P(B), то вероятность наступления события B при условии наступления события A будет больше вероятности наступления события B без условия наступления события A.
Таким образом, мы доказали, что если наступление события B увеличивает вероятность события A, то наступление события A увеличивает вероятность события B.