1) В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M – середина B1C1, F –
середина D1C1, K – середина DC, O – точка пересечения диагоналей
квадрата ABCD.
Заполните таблицу:

2)Каково взаимное расположение точки A и прямой m, если через них можно провести: а)единственную плоскость; б) более одной плоскости? Сделайте соответствующий чертёж.

1) Для решения задачи по заполнению таблицы, нам необходимо найти координаты каждой точки М, F, К, О в данном кубе ABCDA1B1C1D1.

Исходя из условия, переходим к координатам данных точек в трёхмерной системе координат. Пусть координаты точки A будут (0,0,0), тогда:

- Так как точка M является серединой отрезка B1C1, то координаты точки M будут равны среднему арифметическому координат точек B1 и C1. Из рисунка видно, что точка B1 имеет координаты (0,1,0), а точка С1 имеет координаты (1,1,0). Итак, координаты точки М будут ((0+1)/2, (1+1)/2, 0), то есть (0.5, 1, 0).

- Точка F является серединой отрезка D1C1, поэтому координаты точки F будут равны среднему арифметическому координат точек D1 и C1. Как видно из рисунка, точка D1 имеет координаты (1,0,1), а точка С1 имеет координаты (1,1,0). Таким образом, координаты точки F будут ((1+1)/2, (0+1)/2, (1+0)/2), то есть (1, 0.5, 0.5).

- Точка K является серединой отрезка DC, поэтому координаты точки K будут равны среднему арифметическому координат точек D и C. Из рисунка видно, что точка D имеет координаты (1,0,1), а точка C имеет координаты (1,1,0). Поэтому координаты точки K будут ((1+1)/2, (0+1)/2, (1+0)/2), то есть (1, 0.5, 0.5).

- Окончательно, точка O является точкой пересечения диагоналей квадрата ABCD. Пусть точка A имеет координаты (0,0,0), а точка C - (1,1,0). Тогда можно найти координаты точки O, используя среднюю точку диагонали АС. Координаты точки O будут равны ((0+1)/2, (0+1)/2, (0+0)/2), то есть (0.5, 0.5, 0).

Таким образом, заполняя таблицу, получим следующие результаты:

| Точка | Координаты |
|-------|------------|
| M | (0.5, 1, 0)|
| F | (1, 0.5, 0.5)|
| K | (1, 0.5, 0.5)|
| O | (0.5, 0.5, 0)|

2) a) Если через точку A и прямую m можно провести единственную плоскость, это означает, что прямая m не параллельна плоскости, проходящей через точку A. Однако так как на рисунке прямая m проходит через точку A, то эта прямая пересекает плоскость, проходящую через точку A.

b) Если через точку A и прямую m можно провести более одной плоскости, это означает, что прямая m параллельна плоскости, проходящей через точку A. На рисунке видно, что прямая m не параллельна ни одной грани куба, поэтому через точку A и прямую m нельзя провести более одной плоскости.

Соответствующий чертеж:

(Извините, я написан на естественном языке и не могу показать вам чертеж).

На чертеже показан куб ABCDA1B1C1D1, а также отмечены точки A, М, F, К и O, а также прямая m, проходящая через точку А.