1.В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Вычислите полную поверхность призмы, если ее объем равен 1170 см3. 2. По стороне основания, равной 6 см, и боковому ребру, равному 5 см, найдите объем правильной треугольной призмы.
3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 9 см, 15 см и 25 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.
4. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 18 см и 24 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.
а) Площадь одной прямоугольной грани равна произведению длины и ширины: П1 = 10 см * 24 см = 240 см².
б) Площадь одной параллелограммальной грани равна произведению основания (стороны) и высоты: П2 = 10 см * висота.
В данной задаче не даны данные о высоте, поэтому их нужно найти. Для этого воспользуемся формулой объема: V = площадь основания * высота.
V = 1170 см³, а П1 = 240 см², поэтому 1170 = 240 * высота => высота = 1170 / 240 = 4,875 см.
Возвращаясь к вычислению площади параллелограммальной грани: П2 = 10 см * 4,875 см = 48,75 см².
в) Полная поверхность призмы равна сумме площадей всех ее граней: Полная поверхность = 2 * (П1 + П2) = 2 * (240 см² + 48,75 см²) = 2 * 288,75 см² = 577,5 см².
2. Объем правильной треугольной призмы можно найти по формуле: V = площадь основания * высота.
Основание - это правильный треугольник со стороной равной 6 см.
Высоту треугольной призмы нужно найти. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, где катеты равны стороне основания (половина измеренного бокового ребра) и высоте треугольной призмы: высота² = h² + (0,5 * 5 см)².
Решим уравнение для высоты: высота² = h² + 6,25 см² => высота² = h² + 39,0625.
В данной задаче не даны данные о высоте, поэтому их нужно найти. Также необходимо найти сторону основания через высоту, поэтому обратимся к теореме Пифагора: (0,5 * 6 см)² + h² = сторона² => 36/4 + h² = сторона² => h² + 9 = сторона².
Воспользуемся данными задачи о боковом ребре равном 5 см, тогда у нас есть уравнение: высота² = 5 см² + 9 => высота² = 25 см² + 9 см² = 34 см² => высота = √34 см.
Теперь у нас есть сторона основания равная 6 см и высота призмы равная √34 см.
Вычисляем площадь основания: S = (√3 / 4) * сторона².
S = (√3 / 4) * 6 см² = √3 / 2 * 6 см² = 3√3 см².
Теперь вычисляем объем призмы: V = S * высота = 3√3 см² * √34 см = 3√102 см³.
3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех измерений: V = длина * ширина * высота.
В данной задаче данные о длине, ширине и высоте равны 9 см, 15 см и 25 см, соответственно.
Подставляем данные в формулу и находим объем: V = 9 см * 15 см * 25 см = 3375 см³.
Чтобы найти ребро куба с таким же объемом, нужно взять кубический корень от объема параллелепипеда: ребро = ∛3375 см³ = 15 см.
4. Чтобы найти боковое ребро прямоугольного параллелепипеда, нужно воспользоваться формулой: ребро = (сторона основания * диагональ) / √(сторона основания² + боковое ребро²).
В данной задаче стороны основания равны 18 см и 24 см, и угол между диагональю и плоскостью основания равен 45°.
Используем формулу для нахождения диагонали: диагональ = √(18 см² + 24 см²) = √(324 см² + 576 см²) = √900 см² = 30 см.
Теперь подставляем данные в формулу для нахождения бокового ребра: ребро = (18 см * 30 см) / √(18 см² + боковое ребро²)².
Для удобства обозначим боковое ребро как х.
Тогда у нас есть уравнение: х = (18 см * 30 см) / √(18 см² + х²).
Умножаем 18 см на 30 см: 540 см² = √(18 см² + х²).
Возводим в квадрат обе части уравнения: (540 см²)² = (18 см² + х²).
Раскрываем скобки: 291600 см⁴ = 324 см² + х².
Теперь выражаем х²: х² = 291600 см⁴ - 324 см².
Вычитаем 324 см² из 291600 см⁴: х² = 291276 см².
Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения: х = √291276 см.
Таким образом, боковое ребро прямоугольного параллелепипеда равно примерно 539,87 см.