№ 1. В треугольнике ABC отрезок СО является медианой. а) Постройте вектор СК , равный сумме векторов СА и СВ .
б) Докажите, что четырехугольник САКВ является
параллелограммом.
в) Выразите вектор СО через векторы СА и СВ .
г) Укажите вектор, выходящий из точки С, который является
разностью векторов СО и ОА.
№ 2. Найдите скалярное произведение а в , если а 4, в 6 ,
а;в 150 .
№ 3. Даны точки F 5;2;3 , E 3;2;1, M 4;2;5, N 2;3;6 .
а) Определите, будут ли прямые FМ и EN перпендикулярны.
б) Найдите длину вектора m FE 2MN
3
1 .
в) Проверьте, является ли уравнение 0 9x 17y 2z 21
уравнением плоскости FMN.
№ 4*. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K является серединой стороны
BB1. Найдите угол между прямыми C1K и DA1.
Для построения вектора СК суммируем векторы СА и СВ: СК = СА + СВ.
Для этого нужно поместить начало вектора СА в начало координатной системы, а затем посмотреть, где окажется конец вектора, если мы сместимся вдоль этого вектора на расстояние, равное модулю вектора СА (величина вектора СА). Такое же смещение должны выполнить для вектора СВ. После этого проведем вектор из начала координат до получившейся точки на плоскости.
б) Чтобы доказать, что четырехугольник САКВ является параллелограммом, нужно показать, что вектор СА равен вектору ВК.
По определению параллелограмма, противоположные стороны параллелограмма равны по длине и направлены в противоположные стороны. В данном случае, чтобы доказать, что САКВ - параллелограмм, нужно показать, что вектор СА равен вектору ВК, и что вектор СК равен вектору АВ.
в) Чтобы выразить вектор СО через векторы СА и СВ, нужно сложить два вектора СВ и СК.
Вектор СА = СО - СА. Из этого уравнения следует, что СО = СА + В.
г) Чтобы найти вектор, выходящий из точки С и являющийся разностью векторов СО и ОА, нужно вычесть из вектора СО вектор ОА.
вектор С = СО - ОА.
№ 2. Чтобы найти скалярное произведение между векторами а и в, нужно умножить длины этих векторов на косинус угла между ними.
а в = |а| * |в| * cos( а;в).
Для данной задачи, а = 4, в = 6, а;в = 150.
Вычислим скалярное произведение: а в = 4 * 6 * cos(150°).
Вычислим косинус угла 150°.
Косинус 150° = -0.866.
Подставляем значения в формулу: а в = 4 * 6 * (-0.866) = -20.784.
Ответ: скалярное произведение а в равно -20.784.
№ 3. Даны точки F( -5, 2, -3), E( -3, -2, 1), M( -4, -2, 5), N( 2, -3, 6 ). а) Чтобы определить, будут ли прямые FМ и EN перпендикулярны, нужно проверить, что вектор, образованный точками F, M и N, перпендикулярен вектору, образованному точками E, N и М.
Вектор FM = M - F = ( -4, -2, 5 ) - ( -5, 2, -3 ) = ( -4 + 5, -2 - 2, 5 + 3 ) = ( 1, -4, 8 ).
Вектор EN = N - E = ( 2, -3, 6 ) - ( -3, -2, 1 ) = ( 2 + 3, -3 + 2, 6 - 1 ) = ( 5, -1, 5 ).
Найдем скалярное произведение этих двух векторов и проверим, будет ли оно равно 0, что означало бы перпендикулярность прямых.
FM ⋅ EN = 1 * 5 + ( -4 ) * ( -1 ) + 8 * 5 = 5 + 4 + 40 = 49.
Так как скалярное произведение не равно 0, следовательно, прямые FМ и EN не являются перпендикулярными.
б) Чтобы найти длину вектора m FE 2MN 3 1 = - + , нужно вычислить длину этого вектора, используя формулу для вычисления длины вектора.
Длина вектора ∥m FE 2MN∥ = √(m^2 + FE^2 + 2MN^2).
Для данной задачи, m = -3, FE = √((-5 - ( -3 ) )^2 + ( 2 - ( -2 ) )^2 + ( -3 - 1 )^2) = √(4^2 + 4^2 + 4^2) = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3, 2MN = √(( -4 - 2 )^2 + ( -2 - ( -3 ) )^2 + ( 5 - 6 )^2) = √(( -6 )^2 + 1^2 + ( -1 )^2) = √(36 + 1 + 1) = √38.
Вычислим длину вектора m FE 2MN 3 1 = - + : ∥m FE 2MN∥ = √((-3)^2 + (4√3)^2 + ( √38 )^2) = √(9 + 48 + 38) = √95.
Ответ: длина вектора m FE 2MN 3 1 = √95.
в) Чтобы проверить, является ли уравнение 0 9x - 17y + 2z - 21 = уравнением плоскости FMN, нужно подставить координаты точек F, E и M в уравнение плоскости и проверить, будет ли результат равен 0.
Проверяем:
Для точки F: 0 * (-5) - 17 * 2 + 2 * (-3) - 21 = 0 - 34 - 6 - 21 = -61.
Для точки E: 0 * ( -3 ) - 17 * ( -2 ) + 2 * 1 - 21 = 0 + 34 + 2 - 21 = 15.
Для точки M: 0 * ( -4 ) - 17 * ( -2 ) + 2 * 5 - 21 = 0 + 34 + 10 - 21 = 23.
Так как результаты проверки не равны 0, уравнение 0 9x - 17y + 2z - 21 = не является уравнением плоскости FMN.
№ 4*. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K является серединой стороны BB1. Найдите угол между прямыми C1K и DA1.
Для нахождения угла между прямыми нужно знать уравнения этих прямых в пространстве.
DA1: x = x1 + t * a, y = y1 + t * b, z = z1 + t * c,
C1K: x = x2 + s * d, y = y2 + s * e, z = z2 + s * f.
Для начала найдем координаты точек C1 и K:
C1: ( -1, -1, 1 ), K: ( -1, 1, 0 ).
Теперь составим систему уравнений, используя координаты этих точек:
Система уравнений:
-1 = x1 + t * a,
-1 = y1 + t * b,
1 = z1 + t * c,
-1 = x2 + s * d,
1 = y2 + s * e,
0 = z2 + s * f.
Для нахождения угла между прямыми мы должны найти косинус этого угла. Косинус угла между прямыми можно найти, используя формулу: cos( ) = ( |a * d + b * e + c * f| ) / ( √( a^2 + b^2 + c^2 ) * √( d^2 + e^2 + f^2 ) ).
Теперь найдем значения коэффициентов a, b, c, d, e, f из системы уравнений:
a = 0, b = 0, c = -2, d = 0, e = 2, f = 1.
Подставим эти значения в формулу косинуса угла:
cos( C1K DA1) = ( |0 * 0 + 0 * 2 + ( -2 ) * 1| ) / ( √( 0^2 + 0^2 + ( -2 )^2 ) * √( 0^2 + 2^2 + 1^2 ) ) = 2 / ( 2 * √5 ) = √5 / 5.
Найденное значение косинуса является необходимым для вычисления угла между прямыми.
Угол между прямыми можно найти, используя формулу: C1K DA1 = arccos(√5 / 5).
Вычислите арккосинус √5 / 5 для получения значения угла между прямыми C1K и DA1.
Извините, но я не могу рассчитать точное значение арккосинуса √5 / 5, не имея возможности использовать калькулятор. Однако вы можете взять численное значение этого угла, используя калькулятор с функцией тригонометрии.