1)Вероятность случайного события может изменяться в пределах: a. от -1 до +1;
b. от -1 до 0;
c. от 0 до + ;
d. от 0 до 1; .
2)Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда:
a. их векторное произведение равно нулю;
b. их двойное векторное произведение равно нулю;
c. их скалярное произведение равно единице;
d. их скалярное произведение равно нулю;
e. их скалярное произведение отлично от нуля.
3)Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда:
a. их векторное произведение равно нулю;
b. когда они лежат на пересекающихся плоскостях;
c. когда их двойное векторное произведение равно трем;
d. их скалярное произведение равно нулю;
e. их смешанное произведение равно нулю.
4)Три вектора образуют правую тройку, если:
a. их смешанное произведение равно нулю;
b. их смешанное произведение равно единице;
c. их смешанное произведение равно -1;
d. их смешанное произведение больше нуля;
e. их смешанное произведение меньше нуля.
5)Три вектора образуют левую тройку, если:
a. их смешанное произведение равно нулю;
b. их смешанное произведение равно единице;
c. их смешанное произведение равно -1;
d. их смешанное произведение больше нуля;
e. их смешанное произведение меньше нуля.
6)Две прямые на плоскости перпендикулярны, если:
a. их направляющие векторы коллинеарны;
b. их направляющие векторы пересекаются под углом 30о;
c. их направляющие векторы пересекаются под углом 60о;
7)Отметить верный ответ — обратная функция существует для:
a. любой функции;
b. монотонно убывающей;
c. убывающей;
d. возрастающей;
e. положительно убывающей.
d. их направляющие векторы перпендикулярны;
e. их нормальные векторы коллинеарны.
8)Базисом в n-мерном линейном пространстве являются:
a. любые n векторов этого пространства;
b. любые (n -1) векторов этого пространства;
c. любые (n +3) векторов этого пространства;
d. любые n линейно независимых векторов этого пространства;
e. любые (n +1) векторов этого пространства..
2. Исследовать на четность, нечетность с f = f(-x) и f = -f(-x).
Надо подставить вместо х значение -х:
y= (-х^3+4)/x^2 = -((х^3-4)/x^2.
Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Исследовать на периодичность - не периодична.
4. Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва.Имеет одну точку разрыва при х = 0.
5. Найти критические точки.
Производная равна f ‘(x) = 1 – (8/x³) = (х³ - 8)/х³
х³ - 8 = 0
х = ∛8 = 2.
6. Найти интервалы монотонности и экстремумы.
При положительном значении производной функция возрастает, а при отрицательном значении производной - убывает.
При х∈(-∞;0) и [2;+∞) функция возрастает,
при х∈(0;2) - убывает.
7. Найти критические точки второго рода.
Критическая точка второго рода - это точка функции, в которой вторая производная функции равна 0.
Вторая производная равна f ''(x) = 24/x⁴.
Она не может быть равна 0.
8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.
Вторая производная при любом значении х всегда положительна, значит, она вогнута (по другому выпукла вниз). А так как она не равна 0, поэтому точек перегиба у графика функции нет.
9. Найти асимптоты графика.
Одна - вертикальная известна - это ось у.
Наклонная - это прямая у = х.
10. Найти точки пересечения графика с осями.
Есть только 1 точка пересечения с осью х при х = -∛4.
11. построить график - график и подробности исследования функции даны в приложении.
1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет.
2-Выяснить является ли чётной или нечётной.
Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x³ - 3*x² + 4 = 4 - x³ - 3*x
- Нет
x³ - 3*x² + 4 = -4 - -x³ - -3*x²
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3-определить точки пересечения функции с координатными осями .
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x³−3x²+4=0.
В кубическом уравнении надо пробовать поиски корней с +-1.
Подходит х = -1. Тогда заданное уравнение можно разложить на множители, поделив исходное уравнение на х+1.
Получаем x³−3x²+4 = (х+1)(х²-4х+4) = (х+1)(х-2)² = 0.
Имеем 2 корня: х = -1 и х = 2.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 3*x^2 + 4.
0³−3*0²+4 = 4.Точка: (0, 4)
4-найти критические точки функции.
Находим производную и приравниваем её нулю:
y' = 3x²-6x = 3x(x-2).
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.5-определить промежутки монотонности
(возрастания,убывания).
Исследуем поведение производной вблизи критических точек.
х = -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5
y'=3x^2-6x 3.75 0 -2.25 -2.25 0 3.75.
Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает.
Убывает на промежутках (-oo, 0] U [2, oo)
Возрастает на промежутках [0, 2]
6-определить точки экстремума.
Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции.
Минимум функции в точке: x = 2,
Максимум функции в точке: х = 0.
7 -определить максимальное и минимальное значение функции.
Значения функции в экстремальных точках:
х = 2, у = 8-3*4+4 = 0,
х = 0, у = 4.8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
d2/dx2f(x)=6(x−1)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 1].