1.Вкладчик положил 9000 рублей в банк. По истечении года к его вкладу были добавлены деньги, начисленные в качестве процентов, и, помимо этого, он увеличил свой вклад на 1280 рублей. Еще через год, после начисления процентов он решил снять 2160 рублей, а остальные 9720 рублей положил на новый срок. Чему равна процентная ставка в этом банке?
2.В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 168000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года?
3.Найдите значение параметра a, при котором наибольшее значение функции y=ax2+4x+a равно −3.
Давайте посмотрим на последовательность событий:
- Вкладчик положил 9000 рублей в банк.
- По истечении года к его вкладу были добавлены деньги, начисленные в качестве процентов.
- Он увеличил свой вклад на 1280 рублей.
- Еще через год после начисления процентов он снял 2160 рублей, а остальные 9720 рублей положил на новый срок.
Пусть процентная ставка в этом банке равна p (в процентах). Тогда сумма начисленных процентов за первый год будет равна (9000 * p/100), а новая сумма вклада после начисления процентов и увеличения на 1280 рублей будет равна (9000 + 9000 * p/100 + 1280).
После этого вкладчик снял 2160 рублей, поэтому остаток на счету равен (9000 + 9000 * p/100 + 1280 - 2160). Эта сумма была положена на новый срок, поэтому за второй год начисленные проценты составили [(9000 + 9000 * p/100 + 1280 - 2160) * p/100]. Таким образом, сумма вклада после двух лет будет равна (9000 + 9000 * p/100 + 1280 - 2160 + (9000 + 9000 * p/100 + 1280 - 2160) * p/100).
Но согласно условию задачи, эта сумма равна 9720 рублей:
9000 + 9000 * p/100 + 1280 - 2160 + (9000 + 9000 * p/100 + 1280 - 2160) * p/100 = 9720.
Теперь мы можем решить это уравнение относительно p. Раскроем скобки и упростим выражение:
9000 + 90p + 1280 - 2160 + (9000 + 90p + 1280 - 2160) * p/100 = 9720,
9000 + 90p + 1280 - 2160 + 9000p/100 + 90p^2/100 + 128p/100 - 216p/100 = 9720,
90000 + 900p + 1280 - 2160 + 9000p + 90p^2 + 128p - 216p = 972000,
90p^2 + 8544p + 18240 = 972000.
Теперь приведем уравнение к квадратному виду:
90p^2 + 8544p + 18240 - 972000 = 0,
90p^2 + 8544p - 953760 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = 8544^2 - 4 * 90 * (-953760) = 7311616.
Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:
p1 = (-b + √D) / (2a) = (-8544 + √7311616) / (2 * 90) ≈ 18.90 %,
p2 = (-b - √D) / (2a) = (-8544 - √7311616) / (2 * 90) ≈ -98.90 %.
Так как процентная ставка не может быть отрицательной, ответом будет p ≈ 18.90 %.
2. Чтобы определить, сколько рублей будет выплачено банку за два года, мы должны учесть общую сумму долга и условия его возврата.
Сумма кредита составляет 168000 рублей.
Согласно условию задачи, каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года. Это означает, что к концу января 2021 года долг составит 168000 + 168000 * 10/100 = 168000 + 16800 = 184800 рублей.
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Поскольку кредит будет погашен двумя равными платежами, каждый платеж составит половину общей суммы долга после начала следующего года.
Общая сумма долга после января 2021 года составит 184800 рублей, и каждый платеж будет составлять половину этой суммы, то есть 184800 / 2 = 92400 рублей.
Таким образом, за два года будет выплачено банку 92400 + 92400 = 184800 рублей.
3. Мы должны найти значение параметра a, при котором наибольшее значение функции y = ax^2 + 4x + a равно -3.
Чтобы найти наибольшее значение функции, мы должны найти вершину параболы, которая будет находиться в форме y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины параболы.
Координата x вершины параболы можно найти, используя формулу x = -b/2a, где a, b, c - коэффициенты уравнения параболы.
В нашем уравнении a = a, b = 4, c = a.
Подставим эти значения в формулу:
x = -4 / (2a) = -2 / a.
Теперь подставим это значение x в исходную функцию:
y = a(-2/a)^2 + 4(-2/a) + a = 4 + 8/a + a.
Чтобы выяснить значение a, которое приводит к наибольшему значению функции, мы должны найти минимум функции y. Поскольку y изменяется в зависимости от значения a, если y будет иметь наибольшее значение, -3 должно быть минимальным значением функции.
Следовательно, мы можем записать уравнение y = 4 + 8/a + a меньше или равно -3:
4 + 8/a + a ≤ -3.
Перенесем все в левую часть и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:
a^2 + 8/a + 7 ≤ 0.
Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти значения a, для которых выражение неравнества меньше или равно нулю.
Очевидно, что a не может быть равно нулю, поскольку в этом случае функция не определена. Исключим значение a = 0.
Разделим все слагаемое на a:
a^2/a + 8/a + 7/a ≤ 0.
a + 8/a + 7/a ≤ 0.
Найдем общий знаменатель и сложим числители:
(a^2 + 15a + 8) / a ≤ 0.
Теперь мы должны решить квадратное уравнение a^2 + 15a + 8 = 0, чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс.
Решим его с помощью факторизации:
(a + 1)(a + 8) = 0.
Таким образом, a = -1 или a = -8.
Теперь мы можем построить таблицу знаков, чтобы узнать, для каких значений a выражение меньше или равно нуля:
Период | a < -8 | -8 < a < -1 | a > -1
+ | - | + | +
-------------------------------
(-∞, ∞)
Таким образом, наше решение - бесконечное множество значений a, включая a <= -8 и a >= -1.
При этих значениях y будет равно -3.