1. Выбрать верные утверждения. 1) Поверхность, составленная из четырёх треугольников, называется тетраэдром.
2) Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называют смежными.
3) Грани параллелепипеда – это параллелограммы, из которых составлен параллелепипед.
4) Секущей плоскостью параллелепипеда называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда.
5) Две грани параллелепипеда, имеющие общие рёбра, называются противоположными.
A) 1; 3; 4; B) 1; 2; 3; C) 1; 3; 5; D) 1; 4; 5.
2. Назвать все пары скрещивающихся рёбер тетраэдра KABM на рисунке 1.
A) AK и AB; BK и AM; MK и AB; B) AK и BM; BK и AB; MK и AB;
C) AK и BM; BK и AM; MK и AB; D) AK и BM; BK и AM; MK и MB.
3. Выбрать верные утверждения, используя рисунок 2.
1) Р – точка пересечения прямой АВ и плоскости NMQ.
2) E – точка пересечения прямой AC и плоскости MFQ.
3) Точки E и Р лежат в различных плоскостях.
A) 1; 2 и 3; B) 1 и 3; C) 1 и 2; D) 2 и 3.
4. На рисунке 3 точка М принадлежит боковой грани CC1D1D прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Через точку М проведите сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной плоскости АА1D1. Найдите площадь этого сечения, если АВ=5 см, AD=7 см, AA1=9 см.
A) 45 см2; B) 35 см2; C) 63 см2; D) 21 см2.
5. Основанием параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на рисунке 4 является квадрат со стороной 8 см и боковым ребром, равным 7 см. Угол B1BD – прямой. Проведите сечение параллелепипеда через точки B, D и D1 и найдите площадь этого сечения.
6. Перечертите рисунок 5 в тетрадь и проведите сечение параллелепипеда через точки М, Р и Т. Какая фигура получилась в сечении?
A) треугольник; B) четырёхугольник; C) пятиугольник; D) шестиугольник.
1) Поверхность, составленная из четырёх треугольников, называется тетраэдром. - Верно, тетраэдр состоит из 4 треугольников.
3) Грани параллелепипеда – это параллелограммы, из которых составлен параллелепипед. - Верно, грани параллелепипеда состоят из параллелограммов.
4) Секущей плоскостью параллелепипеда называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда. - Верно, секущая плоскость параллелепипеда делит его на две части.
5) Две грани параллелепипеда, имеющие общие рёбра, называются противоположными. - Верно, грани параллелепипеда, имеющие общие рёбра, называются противоположными.
Ответ: D) 1; 4; 5.
2. Пары скрещивающихся рёбер тетраэдра KABM на рисунке 1:
AK и BM;
BK и AM;
MK и AB.
Ответ: A) AK и AB; BK и AM; MK и AB.
3. Верные утверждения, используя рисунок 2:
1) Р – точка пересечения прямой АВ и плоскости NMQ. - Верно, точка Р лежит на пересечении прямой АВ и плоскости NMQ.
2) E – точка пересечения прямой AC и плоскости MFQ. - Верно, точка E лежит на пересечении прямой AC и плоскости MFQ.
3) Точки E и Р лежат в различных плоскостях. - Верно, точки E и Р принадлежат различным плоскостям.
Ответ: A) 1; 2 и 3.
4. Через точку М проводим сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной плоскости АА1D1.
Найдем площадь этого сечения:
По условию, АВ=5 см, AD=7 см, AA1=9 см.
Так как М принадлежит боковой грани CC1D1D, то MM1 будет параллелен плоскости АА1D1.
Поскольку АA1 и DD1 параллельны и прямые AA1 и DD1 пересекаются в точке B1, то сечение BM будет параллельным базе АА1D1.
Получается, что сечение будет параллелограммом со сторонами, равными сторонам АВ и DD1.
Рассмотрим треугольник B1BM1. Он равнобедренный, поскольку Б1М1 – ребро параллелепипеда, а Б1М – диагональ грани параллелепипеда.
Так как ребро параллелепипеда равно 7 см, то по теореме Пифагора получаем:
7^2 = 5^2 + x^2,
49 = 25 + x^2,
x^2 = 49 - 25,
x^2 = 24,
x = √24 = 2√6.
Так как параллелограмм треугольника B1BM1 является подобным треугольнику ABD1, то отношение площадей равно отношению квадратов соответствующих сторон:
Площадь сечения / Площадь ABD1 = (AB / BM)^2,
Площадь сечения = площадь ABD1 * (AB / BM)^2.
Площадь пааллелепипеда ABD1:
S = AB * AD,
S = 5 * 7 = 35 см2.
Площадь сечения:
Sсеч = 35 * (5 / 2√6)^2,
Sсеч = 35 * (25 / 24),
Sсеч = 36.457 см2.
Ответ: округляя до целых, получаем площадь сечения равную B) 35 см2.
5. Проведем сечение параллелепипеда через точки B, D и D1.
Так как B1BD прямой, а BB1DD1 – прямоугольник, то сечение будет прямоугольником со сторонами, равными сторонам BB1 и DD1.
BB1 равно 7 см, так как это боковое ребро параллелепипеда.
DD1 равно 8 см, так как это сторона квадрата, являющегося основанием прямоугольного параллелепипеда.
Площадь сечения:
S = BB1 * DD1,
S = 7 * 8 = 56 см2.
Ответ: площадь сечения равна 56 см2.
6. Нужно перенести рисунок 5 в тетрадь и провести сечение параллелепипеда через точки М, Р и Т. Затем нужно определить, какая фигура получилась в сечении.
Поскольку нам не дан сам рисунок, необходимые точки и направления сечения, ответ на этот вопрос нельзя даны с уверенностью.
Ответ: Необходимо перенести рисунок 5 в тетрадь и провести сечение параллелепипеда через точки М, Р и Т, а затем определить, какая фигура получилась в сечении.