1) Вычислить длину дуги y=e^(x/2)+e^(-x/2)
Важно подробное интегрирования

2)Вычислить объѐм тела, полученного при вращении криволинейной трапеции,
ограниченной линиями, вокруг указанной оси
(x^2)/4+(y^2)/6=1 вокруг оси OX
Нужно подробное интегрирование и график

Показать ответ

Ответ:

stanstan199

07.02.2021 15:16

Пошаговое объяснение:

$y=e^{x/2}+e^{-x/2};$ x=0; x=2

длина дуги

$L=\int\limits^2_0 {(\sqrt{1+(y')^2} } \, dx$

$y'=\frac{e^{x/2}}{2} -\frac{e^{-x/2}}{2}$

$(y')^2=(0.5e^{x/2}-0.5e^{-x/2})=0.25e^x+0.25e^{-x}-2*0.5*0.5e^0 =$

$=0.25(e^x+e^{-x})-0.5$

теперь под интегралом

$\sqrt{1+0,25(e^x+e^{-x})-0.5} = \sqrt{0,25(e^x+e^{-x})+0.5} = \sqrt{0,25(e^x+e^{-x}+2)}=\\=0.5 \sqrt{(e^x+e^{-x}+2)}$

вот это и будем интегрировать используя определение гиперболических функций

$\int\limits^2_0 {0.5 \sqrt{(e^x+e^{-x}+2)}} \, dx =$

чтобы тут не таскать за собой пределы интегрирования, сперва вычислим неопределенный интеграл

$\int{0.5 \sqrt{(e^x+e^{-x}+2)}} \, dx =\int {\sqrt\frac{2coshx+2}{2} } \, dx =\frac{1}{\sqrt{2} } \int{\sqrt{coshx+1} } \, dx =$

$=\frac{1}{\sqrt{2} } \int{\sqrt{2}cosh(x/2)} \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=x/2\\dx=2du\\\end{array}\right] =2^{-1/2}*2^{3/2}\int {coshu} \, du=$

$=2sinhu +C = 2sinh(x/2)+C = 2\frac{e^{x/2}-e^{-x/2}}{2} +C=e^{x/2}-e^{-x/2}+C$

и теперь подставим пределы интегрирования

$(e^{x/2}-e^{-x/2}I_0^2=e^1-e^{-1}$

вот такая вот дуга

2) (x²)/4+(y²)/6=1

точки пересечения этой окружности с осью ОХ

х₁=-2 ; х₂ = 2

формула расчета объема фигуры

$V=\pi \int\limits^a_b {y^2(x)} \, dx$

найдем у²

$\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{6} =1;$ ⇒ $y^2 = 6-\frac{3x^2}{2}$

$V=\pi \int\limits^2_{-2} {(6-\frac{3x^2}{2} )} \, dx= \pi 6\int\limits^2_{-2} {} \, dx -\pi *\frac{3}{2} \int\limits^2_{-2} {x^2} \, dx =$

$=\pi *6xI_{-2}^2 -\pi *\frac{3}{2} \frac{x^2}{2} I_{-2}^2= \pi( 24-8)=16\pi$

1) Вычислить длину дуги y=e^(x/2)+e^(-x/2) Важно подробное интегрирования 2)Вычислить объѐм тела, по

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

ренат76

14.03.2021 21:03

Составить 5 рпедложений с подлежащим и сказуемым на татарском...

аовлвововоов

12.01.2020 21:41

1) папа поймал 24 щуки, а сын 4 щуки. во сколько раз папа поймал щук больше? 2) в одной коробке 24 карандаша. сколько карандашей в 4 таких же коробках? 3) четыре одинаковых...

karinasoskova

12.01.2020 21:41

Поставь скобки так, чтобы равенства стали верными. 1000-990/10-1=902 960/2+6=120...

durindub007

21.10.2021 09:53

Утром петя делает в 2 раза больше звонков чем днём а днём - в 7 раз больше, чем вечером. во сколько раз меньше звонков петя делает вечером чем утром ? 3 класс скажите...

Marinet111

21.10.2021 09:53

Определить уравнение траектории точки m(x.y), которая движется так, что ее расстояние от точки f(-1.0) остается вдвое меньше расстояния от прямой x=-4....

Mashalove16

21.10.2021 09:53

№281 3 м 04 см = ? см 3 дм 8 см = ? мм 5 м2 = ? см2 4 км2 = ? м2...

syrok20031812

09.05.2021 12:29

В камеру помещен 31 заключенный, известно, что 20 заклю- ченных отбывают наказание по 105 ст. УК РФ, по ст. 111 – 14 заключенных, по ст. 116 – 11 человек. Одновременно...

olyamin0

05.10.2020 21:59

Из заданных чисел выберите два числа, чтобы их сумму можно было выразитьцелыми сотнями. Как вы выбираетеэти числа? Обоснуйте свой ответ.110360420370490590720840750650630980...

misterbory

27.08.2021 07:35

Учень мав 80грн1/5з цих грошей він витратив на придбання лінійки,а на решту вирішив купити ручки за ціною 7 грн Скільки ручок він зможе придбати...

Pashtwt1

22.07.2021 17:41

В магазине косметических товаров проходит акция «Приведи друга и получи скидку», скидка зависит от количества привлечённых друзей – 5 % за одного, 10% за двух, 15%...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку