№1 Вычислить производные и дифференциалы первых двух порядков от следующих функций: у(х)=(х-1)*exp(-x^2);
х(t)=t, y(t)=t^2
№2 Методами дифференциального исчисления: (i) исследовать функцию y =f (x) и постро-ить её график; (ii) найти наибольшее и наименьшее значения функции y =f (x).
y(x)=x*esp(x^2)
№3 Найти площадь и периметр фигуры, ограниченной следующими линиями
x^2-2y^2=0, y = -8, 2x -y-3=0;
№4 Разложить в ряд Маклорена следующую функцию
y=sin(x+1)
№5 Используя представление функции в виде степенного ряда вычислить предел или интеграл, или найти решение дифференциального уравнения.
y`=x^2 + y^2
ответ:
пошаговое объяснение:
1) находим первую производную функции:
y' = -3x²+12x+36
приравниваем ее к нулю:
-3x²+12x+36 = 0
x₁ = -2
x₂ = 6
вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-2) = -33
f(6) = 223
f(-3) = -20
f(3) = 142
ответ: fmin = -33, fmax = 142
2)
a) 1. находим интервалы возрастания и убывания.
первая производная равна
f'(x) = - 6x+12
находим нули функции. для этого приравниваем производную к нулю
- 6x+12 = 0
откуда:
x₁ = 2
(-∞ ; 2) f'(x) > 0 функция возрастает
(2; +∞) f'(x) < 0функция убывает
в окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). следовательно, точка x = 2 - точка максимума.
б) 1. находим интервалы возрастания и убывания. первая производная.
f'(x) = -12x2+12x
или
f'(x) = 12x(-x+1)
находим нули функции. для этого приравниваем производную к нулю
12x(-x+1) = 0
откуда:
x1 = 0
x2 = 1
(-∞ ; 0) f'(x) < 0 функция убывает
(0; 1) f'(x) > 0 функция возрастает
(1; +∞) f'(x) < 0 функция убывает
в окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). следовательно, точка x = 0 - точка минимума. в окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (+) на (-). следовательно, точка x = 1 - точка максимума.
3. исследуйте функцию с производной f(x)=2x^2-3x-1
1. d(y) = r
2. чётность и не чётность:
f(-x) = 2(-x)² - 3*(-x) - 1 = 2x² + 3x - 1 функция поменяла знак частично. значит она ни чётная ни нечётная
3. найдём наименьшее и наибольшее значение функции
находим первую производную функции:
y' = 4x-3
приравниваем ее к нулю:
4x-3 = 0
x₁ = 3/4
вычисляем значения функции
f(3/4) = -17/8
используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. найдем вторую производную:
y'' = 4
вычисляем:
y''(3/4) = 4> 0 - значит точка x = 3/4 точка минимума функции.
4. найдём промежутки возрастания и убывания функции:
1. находим интервалы возрастания и убывания.
первая производная равна
f'(x) = 4x-3
находим нули функции. для этого приравниваем производную к нулю
4x-3 = 0
откуда:
x₁ = 3/4
(-∞ ; 3/4) f'(x) < 0 функция убывает
(3/4; +∞) f'(x) > 0 функция возрастает
в окрестности точки x = 3/4 производная функции меняет знак с (-) на (+). следовательно, точка x = 3/4 - точка минимума.
подробнее - на -
уравнение: х+48+х=100
2х+48=100
2х=100-48
2х=52
х=52:2
х=26(хол.)-2 магазин
х+48=26+48=74(хол.)-1 магазин
ответ: 26 холодильников во 2 магазине и 74 холодильника в 1 магазине.
2)
1)3+1=4(части)
2)176:4=44(стр)-то что девочка прочитала
ответ: 44 страницы прочитала девочка.
3)
х=тетрадь, 3х или 60+х=книга
уравнение:
3х=60+х
3х-х=60
2х=60
х=60:2
х=30(руб.)-тетрадь
60+х=60+30=90(руб)-книга
ответ: 90 рублей стоит книга
4)
1)120+130=250(т)-всего осталось
2)540-250=290(т)-всего продали
3)290:2=145(т)-бензин
4)145+120=265(т)-продали на станции
ответ: 265 тонн бензина продали на станции