1. Первый неопределенный интеграл:
Исходный интеграл: ∫(x-4-x-3-3x-2+1)dx
Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
∫(x-4-x-3-3x-2+1)dx = ∫(x - 4 - x - 3 - 3x - 2 + 1)dx
= ∫(-3x - 8)dx
= -3∫x dx - 8∫1 dx
= -3 * (1/2)x^2 - 8x + C
= -3/2x^2 - 8x + C (C - произвольная постоянная)
Второй неопределенный интеграл:
Исходный интеграл: ∫[x^4(x-1)]dx
Раскроем скобку:
∫[x^4(x-1)]dx = ∫[x^5 - x^4]dx
= (1/6)x^6 - (1/5)x^5 + C
= x^6/6 - x^5/5 + C (C - произвольная постоянная)
2. Определенный интеграл:
a) ∫[4x^3 - 3x^2 + 2x + 1]dx from 3 to -2
Вычислим первообразную:
∫[4x^3 - 3x^2 + 2x + 1]dx = x^4 - x^3 + x^2 + x + C
Теперь вычислим определенный интеграл:
[ x^4 - x^3 + x^2 + x + C ] from 3 to -2
Подставим верхний предел:
[-2^4 - (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + C] = (-16 + 8 + 4 - 2 + C)
Подставим нижний предел:
[3^4 - 3^3 + 3^2 + 3 + C] = (81 - 27 + 9 + 3 + C)
Вычислим выражение:
(-16 + 8 + 4 - 2 + C) - (81 - 27 + 9 + 3 + C)
= -6 (конечный ответ)
б) ∫[(4/3)x^3 - (3/2)x^2 + 5]dx from 2 to -1
Вычислим первообразную:
∫[(4/3)x^3 - (3/2)x^2 + 5]dx = (2/3)x^4 - (1/2)x^3 + 5x + C
Теперь вычислим определенный интеграл:
[(2/3)x^4 - (1/2)x^3 + 5x + C] from 2 to -1
Подставим верхний предел:
[(2/3)(-1)^4 - (1/2)(-1)^3 + 5(-1) + C] = (2/3 + 1/2 - 5 + C)
Подставим нижний предел:
[(2/3)(2)^4 - (1/2)(2)^3 + 5(2) + C] = (64/3 - 8/2 + 10 + C)
Вычислим выражение:
(2/3 + 1/2 - 5 + C) - (64/3 - 8/2 + 10 + C)
= -20/3 (конечный ответ)
3. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4 и y = 0.
Для этого нужно найти точки пересечения этих двух функций, и задать границы интегрирования.
Исходя из условия задачи, нам нужно найти x, при котором y = x^2 - 4 = 0.
Решим это уравнение:
x^2 - 4 = 0
x^2 = 4
x = ±√4
x = ±2
Таким образом, фигура ограничена двумя вертикальными линиями x = -2 и x = 2.
Теперь, чтобы найти площадь этой фигуры, мы должны вычислить определенный интеграл ∫(количества_таких_интервалов ф(x))dx от нижней границы (-2) до верхней границы (2).
В данном случае, функция y = x^2 - 4 всегда отрицательна для значений x между -2 и 2. Поэтому площадь фигуры будет равна модулю определенного интеграла:
Площадь = ∫|x^2 - 4|dx от -2 до 2
Определенный интеграл будет выглядеть так:
∫|x^2 - 4|dx от -2 до 2 = ∫(4 - x^2)dx от -2 до 2
= ∫(4 - x^2)dx от -2 до 0 + ∫(4 - x^2)dx от 0 до 2
Вычислим первое слагаемое:
∫(4 - x^2)dx от -2 до 0 = [4x - (1/3)x^3 ] от -2 до 0
= (4(0) - (1/3)(0)^3) - (4(-2) - (1/3)(-2)^3)
= (-4 - 8/3) = -4 - (8/3)
Вычислим второе слагаемое:
∫(4 - x^2)dx от 0 до 2 = [4x - (1/3)x^3 ] от 0 до 2
= (4(2) - (1/3)(2)^3) - (4(0) - (1/3)(0)^3)
= (8 - 8/3) = 8 - (8/3)
Исходный интеграл: ∫(x-4-x-3-3x-2+1)dx
Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
∫(x-4-x-3-3x-2+1)dx = ∫(x - 4 - x - 3 - 3x - 2 + 1)dx
= ∫(-3x - 8)dx
= -3∫x dx - 8∫1 dx
= -3 * (1/2)x^2 - 8x + C
= -3/2x^2 - 8x + C (C - произвольная постоянная)
Второй неопределенный интеграл:
Исходный интеграл: ∫[x^4(x-1)]dx
Раскроем скобку:
∫[x^4(x-1)]dx = ∫[x^5 - x^4]dx
= (1/6)x^6 - (1/5)x^5 + C
= x^6/6 - x^5/5 + C (C - произвольная постоянная)
2. Определенный интеграл:
a) ∫[4x^3 - 3x^2 + 2x + 1]dx from 3 to -2
Вычислим первообразную:
∫[4x^3 - 3x^2 + 2x + 1]dx = x^4 - x^3 + x^2 + x + C
Теперь вычислим определенный интеграл:
[ x^4 - x^3 + x^2 + x + C ] from 3 to -2
Подставим верхний предел:
[-2^4 - (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + C] = (-16 + 8 + 4 - 2 + C)
Подставим нижний предел:
[3^4 - 3^3 + 3^2 + 3 + C] = (81 - 27 + 9 + 3 + C)
Вычислим выражение:
(-16 + 8 + 4 - 2 + C) - (81 - 27 + 9 + 3 + C)
= -6 (конечный ответ)
б) ∫[(4/3)x^3 - (3/2)x^2 + 5]dx from 2 to -1
Вычислим первообразную:
∫[(4/3)x^3 - (3/2)x^2 + 5]dx = (2/3)x^4 - (1/2)x^3 + 5x + C
Теперь вычислим определенный интеграл:
[(2/3)x^4 - (1/2)x^3 + 5x + C] from 2 to -1
Подставим верхний предел:
[(2/3)(-1)^4 - (1/2)(-1)^3 + 5(-1) + C] = (2/3 + 1/2 - 5 + C)
Подставим нижний предел:
[(2/3)(2)^4 - (1/2)(2)^3 + 5(2) + C] = (64/3 - 8/2 + 10 + C)
Вычислим выражение:
(2/3 + 1/2 - 5 + C) - (64/3 - 8/2 + 10 + C)
= -20/3 (конечный ответ)
3. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4 и y = 0.
Для этого нужно найти точки пересечения этих двух функций, и задать границы интегрирования.
Исходя из условия задачи, нам нужно найти x, при котором y = x^2 - 4 = 0.
Решим это уравнение:
x^2 - 4 = 0
x^2 = 4
x = ±√4
x = ±2
Таким образом, фигура ограничена двумя вертикальными линиями x = -2 и x = 2.
Теперь, чтобы найти площадь этой фигуры, мы должны вычислить определенный интеграл ∫(количества_таких_интервалов ф(x))dx от нижней границы (-2) до верхней границы (2).
В данном случае, функция y = x^2 - 4 всегда отрицательна для значений x между -2 и 2. Поэтому площадь фигуры будет равна модулю определенного интеграла:
Площадь = ∫|x^2 - 4|dx от -2 до 2
Определенный интеграл будет выглядеть так:
∫|x^2 - 4|dx от -2 до 2 = ∫(4 - x^2)dx от -2 до 2
= ∫(4 - x^2)dx от -2 до 0 + ∫(4 - x^2)dx от 0 до 2
Вычислим первое слагаемое:
∫(4 - x^2)dx от -2 до 0 = [4x - (1/3)x^3 ] от -2 до 0
= (4(0) - (1/3)(0)^3) - (4(-2) - (1/3)(-2)^3)
= (-4 - 8/3) = -4 - (8/3)
Вычислим второе слагаемое:
∫(4 - x^2)dx от 0 до 2 = [4x - (1/3)x^3 ] от 0 до 2
= (4(2) - (1/3)(2)^3) - (4(0) - (1/3)(0)^3)
= (8 - 8/3) = 8 - (8/3)
Теперь просуммируем оба слагаемых:
(-4 - (8/3)) + (8 - (8/3)) = (-12/3 - 8/3) + (24/3 - 8/3)
= (-20/3) + (16/3) = -4/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2 - 4 и у = 0, равна -4/3.