10. Арсений утверждает, что может расставить натуральные числа от 1 до 16 в клетках таблицы 4 x 4 так, чтобы произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце делилось бы на 16. Прав ли он?
ответ нужно выбрать из предложенных вариантов: А) 34 Б) 53 В) 76 Г) 88 Д) 92 Пусть х – возраст Джима, Джона и Джека.Тогда сумма их возрастов будет равна: х+х+х=3*х лет. Их младший брат Джордж ровно на 3 года их младше, значит ему исполнилось: х-3 лет. Сумма возрастов всех братьев равна: 3х+(х-3)=3х+х-3=4х-3 лет. Число свечек на торте, который приготовила им мама равно сумме возрастов всех пяти братьев: Число свечек=4х-3 Тогда возраст одного из братьев тройняшек (х лет) равен: 4х-3=число свечек 4х=число свечек+3 х=(число свечек+3)/4 Значит, х –число кратное 4. Рассмотрим предлагаемые варианты ответов: а) 34: 34+3=37 (не кратно 4, т.е. делится с остатком: 40:4=9,25) б) 53: 53+3=56 (кратно 4, т.е. 56:4=14) в) 76: 76+3=79 (не кратно 4, т.е. делится с остатком: 19,75) г) 88: 88+3=91 (не кратно 4, т.е. делится с остатком: 22,75) д) 92: 92+3=95 (не кратно 4, т.е. делится с остатком: 23,75) Значит, из всех предложенных вариантов подходит только число 53. ОТВЕТ: б) 53
Проверим: х=(53+3)/4=56/4=14 (лет) – Джиму, Джону и Джеку. А их младшему брату х-3=14-3=11 лет. Сумма возрастов четырех братьев=количество свечей=14*3+11*1=42+11=53
Разметим весь лист параллельными линиями с шагом 1 см в одном и другом перпендикулярных направлениях, начиная от края, так чтобы образовалось ровно 100 одинаковых квадратиков, каждый площадью в один квадратный сантиметр. Назовём их для удобства дальнейших рассуждений – «ячейками».
Тогда все складки, всех описываемых в условии загибаний, будут совпадать с этими линиями (толщину бумаги мы не учитываем, считая её, как бы, бесконечно тонкой).
Заметим, при этом, что при любом (!) загибании, та ячейка, которая находится в угловом квадратике (верхнем правом) – непременно снова перейдёт в новый угловой многослойный квадратик (верхний правый).
Будем согнутый лист на любой стадии называть «фигурой». Выделим у этой «фигуры» некоторые особые зоны (всего 4 зоны):
1) [один] «угловой квадратик» (о нём мы уже упоминали, верхний правый);
2) [2 штуки] «краевые полосы» – многослойные полосы, шириной в 1 см, образующиеся сверху и справа после нескольких загибании краёв фигуры («угловой квадратик» мы рассматриваем отдельно, а поэтому мы его НЕ включаем в «краевые полосы»)
3) [один] «однослойный остаток».
При каждом загибании фигуры, край, который заворачивают внутрь, прикладывается к листу, и толщина «краевой полосы» увеличивается на один слой листа, а так же заметно увеличивается толщина «углового квадратика». При этом важно понимать, что толщина другой «краевой полосы» не увеличивается.
Когда после всех загибаний получилась «фигура» в виде конечного квадрата 4 на 4 см, часть тонкого однослойного листа, т.е. «однослойный остаток», осталась только в пределах квадрата 3 на 3 см, «огороженного» сверху и справа сантиметровой шириной «краевых полос» и «углового квадратика».
Ширина «краевых полос» всегда равна 1 сантиметру, а их длина в конечном положении будет равна 3 (трём) сантиметрам.
Поскольку 10-сантиметровая сторона исходного листа «ужалась» до стороны фигуры, размером в 4 см, то значит, в совокупности, с каждой стороны было загнуто по 6 сантиметра листа. А именно: 6 сантиметров справа и 6 сантиметров сверху. Значит в «краевых полосах» сосредоточено 6 дополнительных (!) слоя листа, а значит, всего в «краевых полосах» сосредоточено 7 слоёв листа.
Площадь «краевой полосы» равна трём квадратным сантиметрам, и при этом их 2 штуки, и в каждой по 7 слоёв исходного листа, значит всего во всех краевых полосах сосредоточено 3*7*2 = 42 «ячейки».
Площадь «однослойного остатка», размером 3x3 см – равна 9 квадратным сантиметрам и содержит в себе 9 «ячеек».
Всего было 100 «ячеек». Из них 42 + 9 = 51 «ячейку» мы уже нашли. Остальные 49 «ячеек» сосредоточены в «угловом квадратике». А значит в «угловом квадратике» будет сосредоточено 49 слоёв исходного листа.
Если проткнуть шилом такой «угловой квадратик», а потом распаковать «фигуру» обратно в исходное состояние, то мы обнаружим на развёрнутом листе 49 дырок.
Для того чтобы снять все сомнения, просто проведём чистый, "незамутнённый логикой" эксперимент и убедимся в правильности приведённых рассуждений. Результаты эксперимента представлены на фотографии с 49-тью дырками.
А) 34
Б) 53
В) 76
Г) 88
Д) 92
Пусть х – возраст Джима, Джона и Джека.Тогда сумма их возрастов будет равна: х+х+х=3*х лет. Их младший брат Джордж ровно на 3 года их младше, значит ему исполнилось: х-3 лет.
Сумма возрастов всех братьев равна: 3х+(х-3)=3х+х-3=4х-3 лет.
Число свечек на торте, который приготовила им мама равно сумме возрастов всех пяти братьев:
Число свечек=4х-3
Тогда возраст одного из братьев тройняшек (х лет) равен:
4х-3=число свечек
4х=число свечек+3
х=(число свечек+3)/4
Значит, х –число кратное 4.
Рассмотрим предлагаемые варианты ответов:
а) 34: 34+3=37 (не кратно 4, т.е. делится с остатком: 40:4=9,25)
б) 53: 53+3=56 (кратно 4, т.е. 56:4=14)
в) 76: 76+3=79 (не кратно 4, т.е. делится с остатком: 19,75)
г) 88: 88+3=91 (не кратно 4, т.е. делится с остатком: 22,75)
д) 92: 92+3=95 (не кратно 4, т.е. делится с остатком: 23,75)
Значит, из всех предложенных вариантов подходит только число 53.
ОТВЕТ: б) 53
Проверим: х=(53+3)/4=56/4=14 (лет) – Джиму, Джону и Джеку. А их младшему брату х-3=14-3=11 лет. Сумма возрастов четырех братьев=количество свечей=14*3+11*1=42+11=53
лист загнули справа
@
Разметим весь лист параллельными линиями с шагом 1 см в одном и другом перпендикулярных направлениях, начиная от края, так чтобы образовалось ровно 100 одинаковых квадратиков, каждый площадью в один квадратный сантиметр. Назовём их для удобства дальнейших рассуждений – «ячейками».
Тогда все складки, всех описываемых в условии загибаний, будут совпадать с этими линиями (толщину бумаги мы не учитываем, считая её, как бы, бесконечно тонкой).
Заметим, при этом, что при любом (!) загибании, та ячейка, которая находится в угловом квадратике (верхнем правом) – непременно снова перейдёт в новый угловой многослойный квадратик (верхний правый).
Будем согнутый лист на любой стадии называть «фигурой».
Выделим у этой «фигуры» некоторые особые зоны (всего 4 зоны):
1) [один] «угловой квадратик» (о нём мы уже упоминали, верхний правый);
2) [2 штуки] «краевые полосы» – многослойные полосы, шириной в 1 см, образующиеся сверху и справа после нескольких загибании краёв фигуры («угловой квадратик» мы рассматриваем отдельно, а поэтому мы его НЕ включаем в «краевые полосы»)
3) [один] «однослойный остаток».
При каждом загибании фигуры, край, который заворачивают внутрь, прикладывается к листу, и толщина «краевой полосы» увеличивается на один слой листа, а так же заметно увеличивается толщина «углового квадратика». При этом важно понимать, что толщина другой «краевой полосы» не увеличивается.
Когда после всех загибаний получилась «фигура» в виде конечного квадрата 4 на 4 см, часть тонкого однослойного листа, т.е. «однослойный остаток», осталась только в пределах квадрата 3 на 3 см, «огороженного» сверху и справа сантиметровой шириной «краевых полос» и «углового квадратика».
Ширина «краевых полос» всегда равна 1 сантиметру, а их длина в конечном положении будет равна 3 (трём) сантиметрам.
Поскольку 10-сантиметровая сторона исходного листа «ужалась» до стороны фигуры, размером в 4 см, то значит, в совокупности, с каждой стороны было загнуто по 6 сантиметра листа. А именно: 6 сантиметров справа и 6 сантиметров сверху. Значит в «краевых полосах» сосредоточено 6 дополнительных (!) слоя листа, а значит, всего в «краевых полосах» сосредоточено 7 слоёв листа.
Площадь «краевой полосы» равна трём квадратным сантиметрам, и при этом их 2 штуки, и в каждой по 7 слоёв исходного листа, значит всего во всех краевых полосах сосредоточено 3*7*2 = 42 «ячейки».
Площадь «однослойного остатка», размером 3x3 см – равна 9 квадратным сантиметрам и содержит в себе 9 «ячеек».
Всего было 100 «ячеек». Из них 42 + 9 = 51 «ячейку» мы уже нашли. Остальные 49 «ячеек» сосредоточены в «угловом квадратике». А значит в «угловом квадратике» будет сосредоточено 49 слоёв исходного листа.
Если проткнуть шилом такой «угловой квадратик», а потом распаковать «фигуру» обратно в исходное состояние, то мы обнаружим на развёрнутом листе 49 дырок.
Для того чтобы снять все сомнения, просто проведём чистый, "незамутнённый логикой" эксперимент и убедимся в правильности приведённых рассуждений. Результаты эксперимента представлены на фотографии с 49-тью дырками.
О т в е т : 49 дырок.