10! число,сколькымй вариантоми можно получить умножением - вопрос №107755711 от 2005NickName2005 27.02.2020 16:39

Question

Математика: 10! число,сколькымй вариантоми можно получить умножением натуральных чисел a и b,так что b было кратное a.

2005NickName2005 · Answer

Разложим число 10! на простые множители.
10!=2*3*4*5*6*7*8*9*10=2^8*3^4*5^2*7

Соответственно
$a=2^{k_1}*3^{k_2}*5^{k_3}*7^{k_4}\\b=2^{t_1}*3^{t_2}*5^{t_3}*7^{t_4}\\k_1,k_2,k_3,k_4,t_1,t_2,t_3,t_4\geq 0\\k_1+t_1=8, k_2+t_2=4, k_3+t_3=2, k_4+t_4=1$
И так как b кратно a, то
$t_1\geq k_1, t_2\geq k_2, t_3\geq k_3, t_4\geq k_4$

Отсюда

$0 \leq k_1 \leq 4, 0\leq k_2 \leq 2, 0 \leq k_3 \leq 1, k_4=0$
Вариантов различных значений
Причем все значения из указанных промежутков подходят.

k_1

может принимать 5 различных значений
k_2

- 3

- 2

- 1

Итого различных значений числа a:
5 * 3 * 2 * 1 = 30

Число b определяется по числу a однозначно, a*b = 10! (по построению), b кратно a (по построению, показано выше)

ответ: 30 вариантов