10 класс (максимум )
Задание 1 ( ) Положительные числа а, b, с, взятые в указанном порядке, образуют строго возрастную арифметическую прогрессию. Докажите, что если ах2 + bx + = 0, то x<-2.
Задание 2 ( ) Медианы треугольника имеют дины 3, 4, 5 см. Найдите площадь треугольника.
Задание 3 ( )
Решите уравнение
под корнем1-x - под корнем x = 0,8.
Задание 4 ( )
Решите в целых числах уравнение
2020x + 2021y = 2022
Для доказательства данного утверждения, нам необходимо воспользоваться информацией о строго возрастной арифметической прогрессии.
Пусть первый член прогрессии равен а, а разность прогрессии равна b - а. Тогда второй член будет равен а + (b - а) = b, третий член будет равен b + (b - а) = 2b - а, четвёртый член будет равен 2b - а + (b - а) = 3b - 2а, и так далее.
Теперь докажем, что если x является корнем квадратного уравнения ах² + bx + с = 0, то x < -2.
Для этого подставим x = -2 в данное уравнение:
а(-2)² + b(-2) + с = 4а - 2b + с
Так как а, b и с - положительные числа, а прогрессия возрастает, то:
4а - 2b + с > а + (b - а) + с = b + с
Также можно заметить, что по условию первый член прогрессии a > 0, значит, и b + с > 0.
Таким образом, а(-2)² + b(-2) + с = 4а - 2b + с > 0.
Продолжая рассуждения, уравнение должно иметь положительный дискриминант, чтобы иметь корни. Дискриминант равняется b² - 4ас. Подставляя значения, получим:
b² - 4ас > 0
Так как b выражается через а и с, заменим его в выражении:
(2b - а)² - 4а(3b - 2а) > 0
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
4b² - 4ab + а² - 12ab + 8а² > 0
Упростим выражение:
4b² - 16ab + 9а² > 0
Факторизуем его:
(2b - 3а)(2b - 3а) > 0
Заметим, что известно, что а и b - положительные числа, следовательно, (2b - 3а) не равняется нулю.
Таким образом, получаем, что ах² + bx + с > 0 при x = -2.
Следовательно, x < -2.
Задание 2:
Медианы треугольника делят его на 6 равных треугольников. Отметим, что треугольник, образованный медианами, является медиано-биссектрисовым треугольником и имеет площадь, равную 3/4 от площади исходного треугольника.
Таким образом, площадь исходного треугольника равна 4/3 * площадь треугольника, образованного медианами.
Для нахождения площади треугольника, образованного медианами, воспользуемся формулой Герона.
Пусть a, b и c - длины сторон медиано-биссектрисного треугольника. Тогда его полупериметр равен (3 + 4 + 5) / 2 = 6.
Площадь медиано-биссектрисного треугольника составляет S = √(6(6-3)(6-4)(6-5)) = √(6*3*2*1) = √36 = 6.
Таким образом, площадь исходного треугольника равна (4/3) * 6 = 8.
Задание 3:
Для решения данного уравнения воспользуемся преобразованиями и свойствами корней квадратного уравнения.
У нас есть квадратные корни, а значит, уравнение под корнем должно быть неотрицательным:
1 - x ≥ 0
Значит, x ≤ 1.
Также, у нас есть ещё одно уравнение:
1 - x ≤ 0,8
Значит, x ≥ 0,2.
Сочетая эти два условия, получаем 0,2 ≤ x ≤ 1.
Таким образом, решением уравнения является любое число x из этого диапазона.
Задание 4:
Данное уравнение является линейным диофантовым уравнением, так как требуется найти целые решения.
Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом Евклида.
1) Найдем НОД(2020, 2021) с помощью алгоритма Евклида:
2021 = 2020 * 1 + 1
2020 = 1 * 2020 + 0
НОД(2020, 2021) = 1
2) Проверим, делится ли 2022 на НОД(2020, 2021):
2022 / 1 = 2022
Ответ: уравнение 2020x + 2021y = 2022 не имеет решений в целых числах.