1) Прямая AB задана двумя точками: A(-3, 2, 1)B(-1, 4, 3) Задана точка M(1, 0, -1) Проекция точки M на прямую AB имеет координаты K(xk, yk, zk) xk = -36 / 12 = -3 = -3 yk = 24 / 12 = 2 = 2 zk = 12 / 12 = 1 = 1 |MK| = sqrt(3456) / 12 = 4.89897948556636 Это расстояние было найдено по формуле: |MK| = sqrt((xk-xm)^2+(yk-ym)^2+(zk-zm)^2) Координаты векторов AB, AM равны: AB = (2, 2, 2), AM = (4, -2, -2). Координаты векторного произведения AB и AM [ABxAM] = (0, 12, -12). Модуль векторного произведения AB и AM |[ABxAM]| = sqrt(288) = 16,9705627484771 Длина отрезка AB|AB| = sqrt(12). Расстояние от точки M до прямой AB вычисляется по формуле |MK| = |[ABxAM]| / |AB| |MK| = sqrt(288 / 12) = 2 * sqrt(6) = 4,89897948556636. ответ: Координаты проекции точки M на прямую AB K(-3, 2, 1) Расстояние от точки S до прямой AB: |MK| = 2 * sqrt(6).
2) А(1; 2; -3), В (-2; 1; 5) Для того, чтобы на оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А и В, надо найти точку пересечения плоскости, проведенную через точку К перпендикулярно вектору АВ (А;В;С), с осью У. Уравнение такой плоскости имеет вид: А(Х-Хк) + В(У-Ук) + С(Z-Zк) = 0. АВ = (-2-1=-3; 1-2=-1; 5-(-3)=8). АВ =(-3; -1; 8). Находим координаты точки К - середины отрезка АВ: Хк = (Ха+Хв)/2 = (1-2)/2 = -1/2. Ук = (Уа+Ув)/2 = (2+1)/2 = 3/2. Zk = (Zа+Zв)/2 = ((-3)+5)/2 = 1. К = (-1/2;3/2;1).
Плоскость КУ = -3(X-(-1/2)) - (Y-(3/2)) + 8(Z-1) = 0 При пересечении этой плоскостью оси У координаты Х и Z равны 0. Тогда КУ = -3/2 - У + 3/2 - 8 = 0 У = -8. Это и есть координата на оси У точки, равноудаленной от точек A и В.
3. Обчисліть довжину медіани ВМ трикутника АВС, якщо А(4; 0; -8), В (2; 0; 3), С (16; 2; 8). Координаты точки М как середины отрезка АС: М = ((4+16)/2=10; (0+2)/2=1; (-8+8)/2=0). М =(10; 1; 0) Длина медианы ВМ = √(10-2)²+(1-0)²+(0-3))²) = √(64+1+9) = √74 = 8.60233.
4. Точки В(-5; 7; 4), С (1; 5; 2), D (9; -3; -4) є вершинами паралелограма АВСD. Знайдіть координати вершини А. Находим координаты точки К - середины отрезка ВД: Хк = (Хв+Хд)/2 = (-5+9)/2 = 2. Ук = (Ув+Уд)/2 = (7+(-3))/2 = 2. Zk = (Zв+Zд)/2 = (4-4)/2 = 0. К = (2;2;0;). Точка А симметрична точке С относительно точки К (это середина диагонали АС параллелограмма АВСД). Ха = 2Хк - Хс = 2*2 - 1 = 3. Уа = 2Ук - Ус = 2*2 - 5 = -1. Zа = 2Zк - Zс = 2*0 - 2 = -2. А = (3;-1;-2).
1)-34217 2) +498115 3) *8888 4)- 556623|69
25329 58508 902 552
| 8067
8888 556623 8016976 - 462 |
414
-483
483
0
5)-8016976
8067
8008909
Проекция точки M на прямую AB имеет координаты K(xk, yk, zk) xk = -36 / 12 = -3 = -3
yk = 24 / 12 = 2 = 2
zk = 12 / 12 = 1 = 1
|MK| = sqrt(3456) / 12 = 4.89897948556636
Это расстояние было найдено по формуле: |MK| = sqrt((xk-xm)^2+(yk-ym)^2+(zk-zm)^2)
Координаты векторов AB, AM равны: AB = (2, 2, 2), AM = (4, -2, -2).
Координаты векторного произведения AB и AM [ABxAM] = (0, 12, -12).
Модуль векторного произведения AB и AM |[ABxAM]| = sqrt(288) = 16,9705627484771
Длина отрезка AB|AB| = sqrt(12).
Расстояние от точки M до прямой AB вычисляется по формуле |MK| = |[ABxAM]| / |AB|
|MK| = sqrt(288 / 12) = 2 * sqrt(6) = 4,89897948556636.
ответ: Координаты проекции точки M на прямую AB
K(-3, 2, 1)
Расстояние от точки S до прямой AB:
|MK| = 2 * sqrt(6).
2) А(1; 2; -3), В (-2; 1; 5)
Для того, чтобы на оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А и В, надо найти точку пересечения плоскости, проведенную через точку К перпендикулярно вектору АВ (А;В;С), с осью У.
Уравнение такой плоскости имеет вид:
А(Х-Хк) + В(У-Ук) + С(Z-Zк) = 0.
АВ = (-2-1=-3; 1-2=-1; 5-(-3)=8).
АВ =(-3; -1; 8).
Находим координаты точки К - середины отрезка АВ:
Хк = (Ха+Хв)/2 = (1-2)/2 = -1/2.
Ук = (Уа+Ув)/2 = (2+1)/2 = 3/2.
Zk = (Zа+Zв)/2 = ((-3)+5)/2 = 1.
К = (-1/2;3/2;1).
Плоскость КУ = -3(X-(-1/2)) - (Y-(3/2)) + 8(Z-1) = 0
При пересечении этой плоскостью оси У координаты Х и Z равны 0.
Тогда КУ = -3/2 - У + 3/2 - 8 = 0
У = -8.
Это и есть координата на оси У точки, равноудаленной от точек A и В.
3. Обчисліть довжину медіани ВМ трикутника АВС, якщо А(4; 0; -8),
В (2; 0; 3), С (16; 2; 8). Координаты точки М как середины отрезка АС: М = ((4+16)/2=10; (0+2)/2=1; (-8+8)/2=0). М =(10; 1; 0) Длина медианы ВМ = √(10-2)²+(1-0)²+(0-3))²) = √(64+1+9) = √74 = 8.60233.
4. Точки В(-5; 7; 4), С (1; 5; 2), D (9; -3; -4) є вершинами паралелограма АВСD. Знайдіть координати вершини А.
Находим координаты точки К - середины отрезка ВД:
Хк = (Хв+Хд)/2 = (-5+9)/2 = 2.
Ук = (Ув+Уд)/2 = (7+(-3))/2 = 2.
Zk = (Zв+Zд)/2 = (4-4)/2 = 0.
К = (2;2;0;).
Точка А симметрична точке С относительно точки К (это середина диагонали АС параллелограмма АВСД).
Ха = 2Хк - Хс = 2*2 - 1 = 3.
Уа = 2Ук - Ус = 2*2 - 5 = -1.
Zа = 2Zк - Zс = 2*0 - 2 = -2.
А = (3;-1;-2).