F(x)=-x²-2ax+b a≠0 Если f(1)=3 и максимальное значение f(x) =4 тогда чему равны а и b?
Решение Из начальных условий f(1)=3 при х=1, следовательно f(1)=-1²-2a*1+b=-2a+b-1
-2a + b - 1 = 3 b -2a = 4
Графиком функции F(x)=-x²-2ax+b является парабола с ветвями направленными вниз так как коэффициент перед x² меньше нуля. Найдем вершину параболы Производная функции равна F'(x)=(-x²-2ax+b)' =-2x-2a Найдем критическую точку приравняв производную к нулю F'(x)=0 -2x-2a =0 х=-а В точке х=-а функция имеет максимум так как ее производная при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус. + 0 - ----------!---------- -а Можно также сразу найти точку максимума параболы так как для параболы y =ax²+bx+c эта точка x =-b/(2a) В нашем примере b=-2a, a=-1 x=-(-2a)/(2*(-1))=-a
Найдем значение максимум подставив x=-a в уравнение функции f(-a)=-(-a)²-2a(-a)+b=-a²+2a²+b=a²+b Из начальных условий максимальное значение равно 4, следовательно a²+b = 4
Для нахождения значения параметров a и b необходимо решить систему уравнений
Поскольку правые части уравнений равны 4 то приравниваем левые части уравнений a²+b=b-2a a²+2a=0 a(a+2)=0 a=0 не подходит так как по условию задачи a≠0 a=-2 Из первого уравнений системы уравнений находим значение параметра b
b=4+2a=4+2(-2)=0
Запишем искомое уравнений функции F(x)=-x²+4x Проверим F(1) =-1+4=3 xmax=-4/(2*(-1))=2 F(2)=-2²+4*2=-4+8=4
Так как находится под модулем, то знак этого трехчлена будет всегда (+), значит при определении промежутка решений неравенства его можно не учитывать, но так как неравенство строгое, то корни данного трехчлена не будут входить в промежуток решения. находим корни: теперь определяем x^3>0: если x<0, то x^3<0 если x>0, то X^3>0 значит промежутком решения данного неравенства является: x∈(0;2) и (2;8) и (8;+oo) считаем на интервале (-1;7] неравенство верно при x=1; x=3; x=4; x=5; x=6; x=7 - всего 6 целых решений ответ: 6 решений
Если f(1)=3 и максимальное значение f(x) =4 тогда чему равны а и b?
Решение
Из начальных условий f(1)=3 при х=1, следовательно
f(1)=-1²-2a*1+b=-2a+b-1
-2a + b - 1 = 3
b -2a = 4
Графиком функции F(x)=-x²-2ax+b является парабола с ветвями направленными вниз так как коэффициент перед x² меньше нуля.
Найдем вершину параболы
Производная функции равна
F'(x)=(-x²-2ax+b)' =-2x-2a
Найдем критическую точку приравняв производную к нулю
F'(x)=0
-2x-2a =0
х=-а
В точке х=-а функция имеет максимум так как ее производная при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус.
+ 0 -
----------!----------
-а
Можно также сразу найти точку максимума параболы так как для параболы y =ax²+bx+c
эта точка x =-b/(2a)
В нашем примере b=-2a, a=-1
x=-(-2a)/(2*(-1))=-a
Найдем значение максимум подставив x=-a в уравнение функции
f(-a)=-(-a)²-2a(-a)+b=-a²+2a²+b=a²+b
Из начальных условий максимальное значение равно 4, следовательно
a²+b = 4
Для нахождения значения параметров a и b необходимо решить систему уравнений
Поскольку правые части уравнений равны 4 то приравниваем левые части уравнений
a²+b=b-2a
a²+2a=0
a(a+2)=0
a=0 не подходит так как по условию задачи a≠0
a=-2
Из первого уравнений системы уравнений находим значение параметра b
b=4+2a=4+2(-2)=0
Запишем искомое уравнений функции
F(x)=-x²+4x
Проверим
F(1) =-1+4=3
xmax=-4/(2*(-1))=2
F(2)=-2²+4*2=-4+8=4
ответ: а=-2, b=0
находим корни:
теперь определяем x^3>0:
если x<0, то x^3<0
если x>0, то X^3>0
значит промежутком решения данного неравенства является:
x∈(0;2) и (2;8) и (8;+oo)
считаем на интервале (-1;7] неравенство верно при x=1; x=3; x=4; x=5; x=6; x=7 - всего 6 целых решений
ответ: 6 решений