11 класс. Условия задач 1. Решите уравнение m2 — 4x - cos (пх2021) + 4 = 0.

2. Для любого натурального числа з обозначим через S(2) сумму его цифр, через Р(2) — про- изведение его цифр, а через N(2) — количество его цифр. Для любого натурального k рассмотрим последовательность 2n (K), в которой 21 (k) = kи Zn (K) = (P(n-1()) + N(2n-1(Е))) - S(2n-1(t)) для любого п> 2. Какое число больше, 22022 (2021) или Z2020 (1)?

3. Все грани многогранника — треугольники. Сколько граней у него может быть?

4. Существуют ли целые числа ти у, для которых x3 = 4у2 + 4у — 3?

5. В ряд стоит 25 осликов, самый правый из них — Иа-Иа. Винни-Пух хочет дать каждому ослику по воздушному шарику одного из семи разных цветов радуги (включая зелёный) так, чтобы стоящие рядом ослики получили бы шарики разного цвета и шарик каждого цвета хоть кто-нибудь да получил бы. Иа-Иа хочет подарить каждому из 24 остальных осликов горшок од- ного из цветов радуги (кроме зелёного) так, чтобы горшок каждого цвета хоть кто-нибудь да получил бы (но соседи могут получать и одноцветные горшки). У кого больше осуще- Ствить задуманное и во сколько раз — у Винни-Пуха или у Иа-Иа? -

364 или 1100

Пошаговое объяснение:

У данных квадратных трехчленов равны старшие коэффициенты. Дискриминант первого трехчлена равен a*a-4b, второго b*b-4400. Чтобы у них был общий корень составим уравнение и решим его

a*a-4b=b*b-4400

a*a=b*b+4b-4400

a*a+4400=b*b+4b

a*a+4404=b*b+4b+4

a*a+4404=(b+2)(b+2)

4404=(b+2)(b+2)-a*a

4404=(b+2-a)(b+2+a)

Разность этих двух скобок равна (b+2-a)-(b+2+a)=2a. По условию a - целое число, поэтому 2a - точно четное число. Значит, обе скобки одной четности. Их произведение 4404 четно, следовательно оба множителя четны.  

Далее надо разложить 4404 на простые множители: 4404=2*2*3*367. Его можно разложить в произведение двух четных чисел двумя или 6*734.

Разберем первый случай.

2*2202=(b+2-a)(b+2+a)

b+2-a=2 и b+2+a=2202

(b+2+a)-(b+2-a)=2a

(b+2+a)-(b+2-a)=2202-2=2200

2a=2200

a=1100

Разберем второй случай.

6*734=(b+2-a)(b+2+a)

b+2-a=6 и b+2+a=734

(b+2+a)-(b+2-a)=2a

(b+2+a)-(b+2-a)=734-6=728

2a=728

a=364

Итого возможны два ответа: 364 и 1100.

15,75 на вторую задачу

Пошаговое объяснение:

Вычислим суммарное расстояние от точки X до всех граней ABC,ABD,ACD,BCD. Просуммируем 14+11+29+8, это равно 62.  

Вычислим суммарное расстояние от точки Y до всех граней ABC,ABD,ACD,BCD. Просуммируем 15+13+25+11, это равно 64.  

Следовательно сумма расстояний до всех граней ABC,ABD,ACD,BCD меняется от 62 до 64. Обозначим R = радиус вписанной сферы, O - его центр. Вычислим суммарное расстояние от точки O до всех граней ABC,ABD,ACD,BCD. Просуммируем R+R+R+R, это равно 4R.

Точки X и Y не являются центром вписанной сферы. следовательно 4R находится между 62 и 64. Составим уравнение

4R=63

R=15,75

Интересная стереометрия, нестандартная)))