12. а) если n(А) = 18, n(B) = 23 и n(A пересечениеВ) = 9, то n(A U B) = ? б) если n(M U K) = 42, n(M) = 35, n(К) = 28 то, n(М пересечение К) = ? в) если n(C пересечение D) = 7, n(C)= 19, n(C U D)=22 то , n(D)=
Древнеегипетская цивилизация возникла в регионе дельты Нила. За историю Древнего Египта сменилось 30 династий правителей. 32 г. до н. э. считается рубежом существования древнеегипетской цивилизации.
Окруженность Египта горами предопределила замкнутый характер возникшей здесь цивилизации, которая носила земледельческий характер. Сельскохозяйственный труд, благодаря благоприятным климатическим условиям, не требовал больших физических затрат, древние египтяне собирали урожай два раза в год. Обрабатывали глину, камень, дерево и металлы. Орудия земледелия изготовляли из обожженной глины. Кроме того, использовались еще гранит, алебастр, сланец и кость. Небольшие сосуды вытачивали иногда из горного хрусталя.
Восприятие и измерение времени в Древнем Египте обуславливалось ритмом разлива Нила. Каждый новый год расценивался египтянами как повторение и определялся не солнечным циклом, а временем, необходимым для сбора урожая. Они изображали слово “год” (“ренпет”) в виде молодого ростка с почкой. Годовой цикл делился на три сезона по 4 месяца каждый: разлив Нила (ахет – “разлив, половодье”), после которго наступал сезон сева (перет – “выхождение” земли из-под вод и прорастание всходов), а за ним сезон сбора урожая (шему – “засуха”, “сухость”), т.е. спад Нила. Месяцы не имели названий, а нумеровались. Каждый четвертый год был високосным, каждый пятый день декады был выходным. Счет времени велся жрецами.
Египтяне разделяли день на двенадцать часов и на двенадцать – ночь. Каждый час имел свое название. Первый час дня назывался “блистающим”, шестой -- “час подъема” и т.п.
Кроме того, все дни года делились на три категории – счастливые, опасные и несчастливые – в зависимости от событий, которые отметили их в те времена, когда на земле жили боги. Таким образом, египтяне вели себя в зависимости от дней. В несчастливые дни они старались не выходить из дома, особенно на закате и ночью. В такие дни нельзя было купаться, плавать на лодках, отправляться в дорогу, есть рыбу и все, что происходит из воды. Главную роль в регламентации поведения играли традиции. Чтобы освежить память и подсказать правильное решение в сомнительных случаях, существовали календари с отмеченными счастливыми и несчастливыми днями.
Высокий уровень жизни и благополучие древних египтян подтверждаются фактом наличия у них двух обычаев, не характерных для других древних цивилизаций: оставлять в живых всех стариков и всех новорожденных младенцев. Основной одеждой египтян была набедренная повязка. Сандалии они носили очень редко, а главным средством демонстрации социального положения было количество украшений (ожерелий, браслетов).
Египтяне обожествляли Нил, как и всю природу. Его изображали в виде тучного мужчины с отвислыми сосками, жирным, в складках, животом, перепоясанным поясом, в сандалиях, что считалось символом богатства. Его называли “отцом богов”. Многие города носили его имя. Когда должен был начаться разлив, божественному Нилу приносили жертвы во многих храмах.
Египтяне верили, что все на свете принадлежит богам, что боги – источник всеобщего процветания, что они знают их помыслы и желания и могут в любой момент вмешаться в дела людей. В то же время природа богов была единосущна с человеческой: богам приписывались человеческие качества, у каждого был свой характер, у них были семьи. Сам человек за свои добрые дела, по представлениям древних египтян, после смерти мог стать богом. Они также обожествляли животных, птиц, особенно почитали крокодила, ибиса. С не меньшим почитанием относились к растениям. Каждый город, например, поклонялся своему священному дереву. Жертвоприношения богам совершались в храмах. Таким образом, верующие в любой момент могли прийти к богу в его храм, чтобы испросить совет или поблагодарить.
Египтяне считали, что после смерти они пападут на суд бога Осириса (Усир – царь загробного мира), который будет взвешивать на весах их плохие и добрые дела. Они стремились, чтобы загробная жизнь ничем не отличалась от жизни земной. Тела бальзамировали. Состоятельные люди заранее готовили для себя загробный дом, поэтому каждый город живых имел город мертвых (в пустыне рядом с городом). Стены домов живых людей расписывались геометрическим и растительным орнаментом, а стены домов мертвых – сценами из их жизни.
Древнеегипетское государство имело черты централизованной деспотии. Фараон являлся персонификацией государства: в его руках объединялась административная, судебная и военная власть. Древние египтяне считали, что бог Ра (бог солнца в египетской мифологии) заботится об их благосостоянии и посылает на землю своего сына – фараона. Каждый фараон расценивался как сын бога Ра. В задачи фараона входило выполнение сакральных, культовых обрядов в храмах, для того, чтобы страна была благополучной. Повседневная жизнь фараона строго регламентировалась, поскольку он был верховным жрецом всех богов. Говоря современным языком, фараоны были профессиональными государтвенными деятелями, имевшими необходимые знания и опыт.
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.6) = 53.130
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:
Найдем проекцию вектора AB на вектор AC
5) Площадь треугольника
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем:
6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:
Координаты точки А находятся по формулам:
Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(0;-1)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:
или
или
y = x -1 или y -x +1 = 0
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
или
или
y = 1/3x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0
Уравнение прямой BC
или
или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 3x -5, т.е. k1 = 3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
3k = -1, откуда k = -1/3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = -1/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = -1, k = -1/3, y0 = 0 получим:
y-0 = -1/3(x-(-1))
или
y = -1/3x - 1/3
Уравнение биссектрисы треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Окруженность Египта горами предопределила замкнутый характер возникшей здесь цивилизации, которая носила земледельческий характер. Сельскохозяйственный труд, благодаря благоприятным климатическим условиям, не требовал больших физических затрат, древние египтяне собирали урожай два раза в год. Обрабатывали глину, камень, дерево и металлы. Орудия земледелия изготовляли из обожженной глины. Кроме того, использовались еще гранит, алебастр, сланец и кость. Небольшие сосуды вытачивали иногда из горного хрусталя.
Восприятие и измерение времени в Древнем Египте обуславливалось ритмом разлива Нила. Каждый новый год расценивался египтянами как повторение и определялся не солнечным циклом, а временем, необходимым для сбора урожая. Они изображали слово “год” (“ренпет”) в виде молодого ростка с почкой. Годовой цикл делился на три сезона по 4 месяца каждый: разлив Нила (ахет – “разлив, половодье”), после которго наступал сезон сева (перет – “выхождение” земли из-под вод и прорастание всходов), а за ним сезон сбора урожая (шему – “засуха”, “сухость”), т.е. спад Нила. Месяцы не имели названий, а нумеровались. Каждый четвертый год был високосным, каждый пятый день декады был выходным. Счет времени велся жрецами.
Египтяне разделяли день на двенадцать часов и на двенадцать – ночь. Каждый час имел свое название. Первый час дня назывался “блистающим”, шестой -- “час подъема” и т.п.
Кроме того, все дни года делились на три категории – счастливые, опасные и несчастливые – в зависимости от событий, которые отметили их в те времена, когда на земле жили боги. Таким образом, египтяне вели себя в зависимости от дней. В несчастливые дни они старались не выходить из дома, особенно на закате и ночью. В такие дни нельзя было купаться, плавать на лодках, отправляться в дорогу, есть рыбу и все, что происходит из воды. Главную роль в регламентации поведения играли традиции. Чтобы освежить память и подсказать правильное решение в сомнительных случаях, существовали календари с отмеченными счастливыми и несчастливыми днями.
Высокий уровень жизни и благополучие древних египтян подтверждаются фактом наличия у них двух обычаев, не характерных для других древних цивилизаций: оставлять в живых всех стариков и всех новорожденных младенцев. Основной одеждой египтян была набедренная повязка. Сандалии они носили очень редко, а главным средством демонстрации социального положения было количество украшений (ожерелий, браслетов).
Египтяне обожествляли Нил, как и всю природу. Его изображали в виде тучного мужчины с отвислыми сосками, жирным, в складках, животом, перепоясанным поясом, в сандалиях, что считалось символом богатства. Его называли “отцом богов”. Многие города носили его имя. Когда должен был начаться разлив, божественному Нилу приносили жертвы во многих храмах.
Египтяне верили, что все на свете принадлежит богам, что боги – источник всеобщего процветания, что они знают их помыслы и желания и могут в любой момент вмешаться в дела людей. В то же время природа богов была единосущна с человеческой: богам приписывались человеческие качества, у каждого был свой характер, у них были семьи. Сам человек за свои добрые дела, по представлениям древних египтян, после смерти мог стать богом. Они также обожествляли животных, птиц, особенно почитали крокодила, ибиса. С не меньшим почитанием относились к растениям. Каждый город, например, поклонялся своему священному дереву. Жертвоприношения богам совершались в храмах. Таким образом, верующие в любой момент могли прийти к богу в его храм, чтобы испросить совет или поблагодарить.
Египтяне считали, что после смерти они пападут на суд бога Осириса (Усир – царь загробного мира), который будет взвешивать на весах их плохие и добрые дела. Они стремились, чтобы загробная жизнь ничем не отличалась от жизни земной. Тела бальзамировали. Состоятельные люди заранее готовили для себя загробный дом, поэтому каждый город живых имел город мертвых (в пустыне рядом с городом). Стены домов живых людей расписывались геометрическим и растительным орнаментом, а стены домов мертвых – сценами из их жизни.
Древнеегипетское государство имело черты централизованной деспотии. Фараон являлся персонификацией государства: в его руках объединялась административная, судебная и военная власть. Древние египтяне считали, что бог Ра (бог солнца в египетской мифологии) заботится об их благосостоянии и посылает на землю своего сына – фараона. Каждый фараон расценивался как сын бога Ра. В задачи фараона входило выполнение сакральных, культовых обрядов в храмах, для того, чтобы страна была благополучной. Повседневная жизнь фараона строго регламентировалась, поскольку он был верховным жрецом всех богов. Говоря современным языком, фараоны были профессиональными государтвенными деятелями, имевшими необходимые знания и опыт.
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.6) = 53.130
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:
Найдем проекцию вектора AB на вектор AC
5) Площадь треугольника
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем:
6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:
Координаты точки А находятся по формулам:
Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(0;-1)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:
или
или
y = x -1 или y -x +1 = 0
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
или
или
y = 1/3x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0
Уравнение прямой BC
или
или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 3x -5, т.е. k1 = 3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
3k = -1, откуда k = -1/3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = -1/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = -1, k = -1/3, y0 = 0 получим:
y-0 = -1/3(x-(-1))
или
y = -1/3x - 1/3
Уравнение биссектрисы треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Воспользуемся формулой:
Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x - 1 = 0
^A ≈ 530
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 26.50
Тангенс угла наклона AB равен 3 (т.к. y -3x +5 = 0). Угол наклона равен 72
^NKA≈ 1800 - 720 = 1080
^ANK ≈ 1800 - (1080 + 26.50) ≈ 45.50
tg(45.50) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y - y0 = k(x - x0)
y - 1 = 1(x - 2)
или
y = x -1