Запишем интеграл в виде ∫dx∫(12*x²*y²+16*x³*y³)*dy. Для вычисления внутреннего интеграла пересечём область D прямыми, параллельными оси ОУ. Они входят в область D через границу y=-√x и выходят из неё через границу y=x². Поэтому нижним и верхним пределами интегрирования являются функции y1=-√x и y2=x². Вычисляя внутренний интеграл, находим: ∫(12*x²*y²+16*x³*y³)*dy=4*x²*y³+4*x³*y⁴. Подставляя вместо y пределы интегрирования y1 и y2, получаем функцию от x f(x)=4*x¹¹+4*x⁸-4*x⁵+4*x³*√x. Вычислим теперь внешний интеграл ∫f(x)*dx. Пределами интегрирования, очевидно, являются x1=0 и x1=1. Интегрируя, находим F(x)=4*∫x¹¹*dx+4*∫x⁸*dx-4*∫x⁵*dx+4*∫x^(7/2)*dx=1/3*x¹²+4/9*x⁹-2/3*x⁶+8/9*x^(9/2). Подставляя пределы интегрирования x1 и x2, находим ∫∫(12*x²*y²+16*x³*y³)*dx*dy=1/3+4/9-2/3+8/9=1.
ответ: 1.
Пошаговое объяснение:
Запишем интеграл в виде ∫dx∫(12*x²*y²+16*x³*y³)*dy. Для вычисления внутреннего интеграла пересечём область D прямыми, параллельными оси ОУ. Они входят в область D через границу y=-√x и выходят из неё через границу y=x². Поэтому нижним и верхним пределами интегрирования являются функции y1=-√x и y2=x². Вычисляя внутренний интеграл, находим: ∫(12*x²*y²+16*x³*y³)*dy=4*x²*y³+4*x³*y⁴. Подставляя вместо y пределы интегрирования y1 и y2, получаем функцию от x f(x)=4*x¹¹+4*x⁸-4*x⁵+4*x³*√x. Вычислим теперь внешний интеграл ∫f(x)*dx. Пределами интегрирования, очевидно, являются x1=0 и x1=1. Интегрируя, находим F(x)=4*∫x¹¹*dx+4*∫x⁸*dx-4*∫x⁵*dx+4*∫x^(7/2)*dx=1/3*x¹²+4/9*x⁹-2/3*x⁶+8/9*x^(9/2). Подставляя пределы интегрирования x1 и x2, находим ∫∫(12*x²*y²+16*x³*y³)*dx*dy=1/3+4/9-2/3+8/9=1.