Будем считать, что дана функция у = (x²+8) / (x+1).
Находим её производную.
y' = 2x*(x + 1) - 1*(x² + 8) / (x + 1)² = (x² + 2x - 8) / ((x + 1)²).
Для определения критических точек приравняем её нулю (достаточно числитель, исключив х = -1).
x² + 2x - 8 = 0,
D = (2²-4*1*(-8)) = 36, √D = +-6.
x1 = (-2 - 6)/(2*1) = -4, x2 = (-2 + 6) / (2*1) = 2.
На заданном промежутке критическая точка х = 2.
Определим её характер по значениям производной левее и правее этой точки.
х = 1 2 3
y' = -1,25 0 0,4375.
Как видим, это минимум функции (переход производной с - на +).
Значение функции в точке экстремума равно:
у = (2² + 8) / (2 + 1) = 12/3 = 4.
Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном промежутке, определим её значения на концах промежутка.
х = 0, у = 8,
х = 3, у = 4,25.
ответ: наибольшее значение функции у = 8,
наименьшее значение функции у = 4.
Будем считать, что дана функция у = (x²+8) / (x+1).
Находим её производную.
y' = 2x*(x + 1) - 1*(x² + 8) / (x + 1)² = (x² + 2x - 8) / ((x + 1)²).
Для определения критических точек приравняем её нулю (достаточно числитель, исключив х = -1).
x² + 2x - 8 = 0,
D = (2²-4*1*(-8)) = 36, √D = +-6.
x1 = (-2 - 6)/(2*1) = -4, x2 = (-2 + 6) / (2*1) = 2.
На заданном промежутке критическая точка х = 2.
Определим её характер по значениям производной левее и правее этой точки.
х = 1 2 3
y' = -1,25 0 0,4375.
Как видим, это минимум функции (переход производной с - на +).
Значение функции в точке экстремума равно:
у = (2² + 8) / (2 + 1) = 12/3 = 4.
Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном промежутке, определим её значения на концах промежутка.
х = 0, у = 8,
х = 3, у = 4,25.
ответ: наибольшее значение функции у = 8,
наименьшее значение функции у = 4.