16. Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно: а) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости
б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости
в) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости
17. Дан тетраэдр МАВС, угольный, где D ∈ AC, MB ⊥ АВ. Найдите MD и SMBD, если MB = BD = а. Найдите: площадь треугольника MBD:
а) a²
б) a²/3
в) a²/2
18. Перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, так ли это:
а) да
б) нет
в) отчасти
19. Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна … пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости:
а) трём
б) четырем
в) двум
20. Проекцией прямой на плоскость является точка или:
а) кривая
б) прямая +
в) плоскость
21. Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, АС=10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите площадь треугольника ACD:
а) 75 см²
б) 72 см²
в) 76 см²
22. Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда:
а) другая плоскость параллельна прямой
б) другая плоскость перпендикулярна прямой
в) прямая лежит в другой плоскости
23. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. Треугольник BDF расположен на поверхности α и имеет следующие параметры: угол DBF=90°, сторона BD=12 см; сторона BF =16 см; BC — медиана. Найти длину отрезка АС, если АВ = 24 см:
а) 22 см
б) 28 см
в) 26 см
24. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости , прямая а перпендикулярна к плоскости . Каково взаимное расположение прямых с и в:
а) совпадают
б) пересекаются
в) параллельны
25. В треугольнике ABC дано: угол С=90°, АС=6 см, ВС=8 см, СМ-медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ:
а) 18 см
б) 10 см
в) 13 см
26. Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая:
а) да
б) нет
в) отчасти
27. Дан тетраэдр МАВС, угольный, где D ∈ AC, MB ⊥ АВ. Найдите MD и SMBD, если MB = BD = а. Найдите: площадь треугольника MD:
а) 2√2
б) √3
в) 3√3
28. Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые:
а) скрещивающиеся
б) параллельны
в) перпендикулярны
29. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ADC. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельна прямой CD. Известно, что АВ=16√3 см, ОК=12 см, CD=16 см. Найдите расстояние от точек D и K до вершин А и В треугольника:
а) DA=DB=32 см, AK=KB=20 см
б) DA=DB=12 см, AK=KB=30 см
в) DA=DB=18 см, AK=KB=37 см
30. Точки A, M, O лежат на одной прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки O, B, C, D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: AOB, MOC, DAM, DOA, BMO:
а) DAM, DOA, BMO
б) AOB, AOC, DOA
в) AOB, MOC, DAM
Угол между двумя плоскостями равен 80°. Неверно утверждение:
а) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости
б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости
в) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости
Ответ: б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости.
Обоснование: Если угол между двумя плоскостями равен 80°, то они не могут быть перпендикулярными друг другу. По определению, перпендикулярные плоскости образуют угол в 90°. Таким образом, утверждение б) неверно.
Вопрос 17:
Дан тетраэдр МАВС, угольный, где D ∈ AC, MB ⊥ АВ. Найдите MD и SMBD, если MB = BD = а. Найдите площадь треугольника MBD.
Ответ:
MD = AD - AM = AC - AM = AC - AB + BM
MD = AC - AB + a, так как MB = BD = a
MD = AC - AB + a
SMBD = 1/2 * MB * BD = 1/2 * a * a = a²/2
Площадь треугольника MBD = SMBD = a²/2
Ответ: площадь треугольника MBD равна а²/2.
Вопрос 18:
Перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины. Так ли это?
Ответ: б) нет
Обоснование: Если перпендикуляр и наклонная выходят из одной точки, то наклонная будет иметь большую длину, чем перпендикуляр. Перпендикуляр всегда является кратчайшим расстоянием между точкой и плоскостью, а наклонная будет иметь длину больше перпендикуляра в этом случае.
Вопрос 19:
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна … пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости.
Ответ: а) трём
Обоснование: Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости. Прямая будет перпендикулярна плоскости, если она будет перпендикулярна как минимум трём пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Вопрос 20:
Проекцией прямой на плоскость является точка или:
Ответ: б) прямая
Обоснование: Проекция прямой на плоскость представляет собой перпендикуляр, опущенный с каждой точки прямой на плоскость. Эти перпендикуляры образуют прямую на плоскости, которая является проекцией исходной прямой на эту плоскость.
Вопрос 21:
Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, АС=10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите площадь треугольника ACD.
Ответ: б) 72 см²
Обоснование: Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
p = (AB + BC + CA) / 2 = (13 + 13 + 10) / 2 = 18
S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA)) = √(18 * (18 - 13) * (18 - 13) * (18 - 10)) = √(18 * 5 * 5 * 8) = √(18 * 200) = √(3600) = 60
Площадь треугольника ACD равна 60 см²
Ответ: б) 72 см²
Вопрос 22:
Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда:
Ответ: в) прямая лежит в другой плоскости
Обоснование: Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, то прямая будет лежать в другой плоскости. В данном случае, прямая будет параллельна плоскости, перпендикулярной первой плоскости.
Вопрос 23:
Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. Треугольник BDF расположен на поверхности α и имеет следующие параметры: угол DBF=90°, сторона BD=12 см; сторона BF =16 см; BC — медиана. Найти длину отрезка АС, если АВ = 24 см.
Ответ: в) 26 см
Обоснование: Поскольку AB перпендикулярен плоскости α, то линия, проходящая через BD и параллельная плоскости α, будет перпендикулярна плоскости α. Следовательно, треугольник BDF находится на поверхности плоскости α. Треугольник BDF является прямоугольным по условию, поэтому можно применить теорему Пифагора:
DF² = BD² + BF² = 12² + 16² = 400
DF = √400 = 20
Также из условия задачи известно, что BC является медианой треугольника BDF. Поскольку медиана делит сторону треугольника пополам, то он делит DF пополам:
BC = DF / 2 = 20 / 2 = 10
Теперь нужно найти длину AC. Так как AB перпендикулярно плоскости α, то AC также будет перпендикулярна плоскости α. Треугольник ABC будет прямоугольным с прямым углом в точке C. Отрезок BC является гипотенузой этого треугольника. Используя теорему Пифагора:
AC² = AB² + BC² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676
AC = √676 = 26
Ответ: в) 26 см
Вопрос 24:
Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости α, прямая а перпендикулярна к плоскости β. Каково взаимное расположение прямых с и в?
Ответ: а) совпадают
Обоснование: Если прямая а перпендикулярна к прямым с и в, то все эти прямые должны лежать в плоскости, перпендикулярной прямой а, то есть плоскости β. Таким образом, прямая с будет совпадать с прямой в, так как они обе лежат в плоскости β и перпендикулярны прямой а.
Вопрос 25:
В треугольнике ABC дано: угол С=90°, АС=6 см, ВС=8 см, СМ-медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ.
Ответ: б) 10 см
Обоснование: Медиана, проходящ