a) Докажите, что KM перпендикулярно AC. Проведём секущую плоскость через точку К перпендикулярно грани АА1С1С. Так как точка К - это середина А1В1, то эта плоскость пересечёт сторону АС в половине её половины, то есть отсечёт (1/4) АС и это как раз точка М, которая делит ребро AC в отношении AM:MC = 1:3. А любая прямая, в том числе и КМ, лежащая в плоскости, перпендикулярной АС, будет перпендикулярна АС. Условие доказано.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB=6, AC=8 и AA1 =3. Чтобы определить этот угол, надо найти плоский угол, а для этого надо спроецировать отрезок КМ на плоскость АВВ1. Пусть проекция точки М на эту плоскость - точка М1. ММ1 ⊥ АВ. Проекция точки К на АВ - точка К1. Определяем параметры отрезков на основании АВС. Высота из точки В на АС - это ВД. ВД = √(АВ²-(АС/2)²) = √(6²-(8/2)²) = √(36-16) = √20 = 2√5. Из подобия треугольников К1М = (1/2)ВД = √5. Отрезок: КМ = √((К1М)²+(КК1)²) = √(5+9) = √14. К1М1 = К1М*cos(B/2) = √5*(2√5/6) = 5/3. КМ1 = √((К1М1)²+(КК1)²) = √((25/9)+9) = √106/3. Отсюда определяем косинус искомого угла: cos(M1KM) = KM1/KM = (√106/3)/√14 ≈ 0,917208. Отсюда угол между отрезком КМ и плоскостью АВВ1 равен 0,409782 радиан или 23,47879°.
ответ: угол между прямой KM и плоскостью ABB1 равен 23,47879°.
Расстояние между пристанями А и В = 1 (целая) 1) 1 : 8 = 1/8 (расстояния/мин.) скорость катера по течению реки 2) 1:12 = 1/12 (расстояния/мин.) скорость катера в стоячей воде озера (собственная скорость катера) 3) 1/8 - 1/12 = 3/24 - 2/24 = 1/24 (расстояния/мин.) скорость течения реки, равная скорости плота 4) 1 : 1/24 = 24 (минуты) время в пути плота 5) 1/12 - 1/24 = 2/24 - 1/24 = 1/24 (расстояния/мин.) скорость катера против течения реки 6) 1 : 1/24 = 24 (минуты) время в пути катера против течения реки
ответ: за 24 минуты проплывет расстояние АВ плот ; за 24 минуты - катер против течения реки.
Проведём секущую плоскость через точку К перпендикулярно грани АА1С1С.
Так как точка К - это середина А1В1, то эта плоскость пересечёт сторону АС в половине её половины, то есть отсечёт (1/4) АС и это как раз точка М, которая делит ребро AC в отношении AM:MC = 1:3.
А любая прямая, в том числе и КМ, лежащая в плоскости, перпендикулярной АС, будет перпендикулярна АС.
Условие доказано.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB=6, AC=8 и AA1 =3.
Чтобы определить этот угол, надо найти плоский угол, а для этого надо спроецировать отрезок КМ на плоскость АВВ1.
Пусть проекция точки М на эту плоскость - точка М1. ММ1 ⊥ АВ.
Проекция точки К на АВ - точка К1.
Определяем параметры отрезков на основании АВС.
Высота из точки В на АС - это ВД.
ВД = √(АВ²-(АС/2)²) = √(6²-(8/2)²) = √(36-16) = √20 = 2√5.
Из подобия треугольников К1М = (1/2)ВД = √5.
Отрезок: КМ = √((К1М)²+(КК1)²) = √(5+9) = √14.
К1М1 = К1М*cos(B/2) = √5*(2√5/6) = 5/3.
КМ1 = √((К1М1)²+(КК1)²) = √((25/9)+9) = √106/3.
Отсюда определяем косинус искомого угла:
cos(M1KM) = KM1/KM = (√106/3)/√14 ≈ 0,917208.
Отсюда угол между отрезком КМ и плоскостью АВВ1 равен 0,409782 радиан или 23,47879°.
ответ: угол между прямой KM и плоскостью ABB1 равен 23,47879°.
1) 1 : 8 = 1/8 (расстояния/мин.) скорость катера по течению реки
2) 1:12 = 1/12 (расстояния/мин.) скорость катера в стоячей воде озера (собственная скорость катера)
3) 1/8 - 1/12 = 3/24 - 2/24 = 1/24 (расстояния/мин.) скорость течения реки, равная скорости плота
4) 1 : 1/24 = 24 (минуты) время в пути плота
5) 1/12 - 1/24 = 2/24 - 1/24 = 1/24 (расстояния/мин.) скорость катера против течения реки
6) 1 : 1/24 = 24 (минуты) время в пути катера против течения реки
ответ: за 24 минуты проплывет расстояние АВ плот ;
за 24 минуты - катер против течения реки.