Оценим максимальное значение, которое может принимать элемент множества . Предположим, что существуют хотя бы два элемента множества, больших . Пусть это числа . Положим , тогда , откуда . Противоречие. Значит, существует не более одного числа, большего
Теперь становится ясно, как строить множество. Пусть максимальное число равно . Тогда следующее по величине число меньше , где — текущее число (сейчас рассматривается максимальное число; оценка следует из исходного уравнения). То есть второе по величине число не превосходит . Берем 47. Далее: . Берем 28. И так далее. Получим множество , состоящее из 11 элементов. Это и есть наш ответ.
Нехай сторони прямокутника дорівнюють х см і у см. Знаючи, що діагональ дорівнює 13 см і використовуючи теорему Піфагора, складаємо перше рівняння: х² + у² = 169 Знаючи, що площа прямокутника дорівнює 60 см², складаємо друге рівняння: ху=60 Отримали систему рівнянь: {х² + у² = 169, {ху=60
Виражаємо з другого рівняння х через у (х=60/у) і підставляємо це значення у перше рівняння: (60/у)² + у² = 169 3600/у² + у² = 169
Множимо обидві частини рівняння на у², щоб позбутися знаменника (у≠0): 3600 + у⁴ = 169у² у⁴ - 169у² + 3600 = 0
Отримали біквадратне рівняння. Вводимо заміну: у² = t
Оценим максимальное значение, которое может принимать элемент множества
. Предположим, что существуют хотя бы два элемента множества, больших 
. Пусть это числа 
. Положим 
, тогда 
, откуда 
. Противоречие. Значит, существует не более одного числа, большего
Теперь становится ясно, как строить множество. Пусть максимальное число равно
. Тогда следующее по величине число меньше 
, где 
— текущее число (сейчас рассматривается максимальное число; оценка следует из исходного уравнения). То есть второе по величине число не превосходит 
. Берем 47. Далее: 
. Берем 28. И так далее. Получим множество 
, состоящее из 11 элементов. Это и есть наш ответ.
Знаючи, що діагональ дорівнює 13 см і використовуючи теорему Піфагора, складаємо перше рівняння:
х² + у² = 169
Знаючи, що площа прямокутника дорівнює 60 см², складаємо друге рівняння:
ху=60
Отримали систему рівнянь:
{х² + у² = 169,
{ху=60
Виражаємо з другого рівняння х через у (х=60/у) і підставляємо це значення у перше рівняння:
(60/у)² + у² = 169
3600/у² + у² = 169
Множимо обидві частини рівняння на у², щоб позбутися знаменника (у≠0):
3600 + у⁴ = 169у²
у⁴ - 169у² + 3600 = 0
Отримали біквадратне рівняння.
Вводимо заміну: у² = t
t² - 169t + 3600 = 0
D = 28561-14400 = 14161
t₁ = (169+119)/2 = 144
t₂ = (169-119)/2 = 25
y² = 144
y₁ = -12 - не задовольняє умову задачі
у₂ = 12 х₂ = 60/12 = 5
у² = 25
у₃ = -5 - не задовольняє умову задачі
у₄ = 5 х₄ = 60/5 = 12
Відповідь. 5 см і 12 см дорівнюють сторони прямокутника.