2. Бак, ёмкостью 2400 м наполняется топливом. При опорожнении этого бака производительность насоса 10 ммин выше, на чем производительность насоса при заполнении. результате время опорожнения бака на 8 мин меньше времени заполнения. Определите производительность насоса при заполнении бака.
Дано, что ёмкость бака равна 2400 м^3. Пусть производительность насоса при заполнении бака равна х м^3/мин. Тогда производительность насоса при опорожнении составляет (х + 10) м^3/мин.
По условию, время опорожнения бака на 8 минут меньше времени заполнения. То есть время заполнения равно t минут, а время опорожнения будет равно (t - 8) минут.
Теперь воспользуемся формулой v = st, где v - объем, s - скорость (производительность) и t - время.
Время заполнения равно объему бака, деленному на производительность насоса при заполнении:
t = 2400 м^3 / х м^3/мин.
Время опорожнения равно объему бака, деленному на производительность насоса при опорожнении:
(t - 8) = 2400 м^3 / (х + 10) м^3/мин.
Итак, мы получили систему уравнений:
t = 2400 / х
(t - 8) = 2400 / (х + 10)
Теперь решим эту систему уравнений методом подстановки.
Подставим выражение для t из первого уравнения во второе:
(2400 / х - 8) = 2400 / (х + 10)
Умножим обе части уравнения на х(х + 10) для избавления от знаменателей:
(2400(х + 10) - 8х(х + 10)) = 2400х
Раскроем скобки:
2400х + 24000 - 8х^2 - 80х = 2400х
Упростим уравнение:
-8х^2 - 80х + 24000 = 0
Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить.
Для удобства примем у = х, тогда уравнение примет вид:
-8у^2 - 80у + 24000 = 0
Поделим всё уравнение на -8:
у^2 + 10у - 3000 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или дискриминанта.
Коеффициенты у нас равны: a = 1, b = 10 и c = -3000.
Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-3000) = 100 + 12000 = 12100
D > 0, следовательно, у уравнения есть два корня.
Дискриминант равен 12100, значит, корни уравнения равны:
у1,2 = (-b ± √D) / 2a
у1,2 = (-10 ± √12100) / (2*1)
у1,2 = (-10 ± 110) / 2
у1 = (-10 + 110) / 2 = 100 / 2 = 50
у2 = (-10 - 110) / 2 = -120 / 2 = -60
Так как производительность насоса не может быть отрицательной, то у = х = 50 м^3/мин.
Итак, производительность насоса при заполнении бака равна 50 м^3/мин.