2. докажите, что при всех значениях параметра а расстояние между
корнями квадратного уравнения
x^2+ (2а + 1)x + (а^2 +a) = 0
одно и то же.
3. в учёном совете состоит 19 профессоров. однажды каждый из них
написал письма 9 членам совста. после этого оказалось, что каждый получил
ровно 9 таких писем. могло ли оказаться, что никакие два учёных не написали
друг другу?
4. натуральное число называется свободным от кубов, если ни один из
его делителей не является кубом натурального числа, большего единицы. оля
написала на доске 7000 свободных от кубов чисел. докажите, что по меньшей
мере одно из этих чисел имеет простой делитель, больший 20.
5. внутри треугольника авс отметили точку р. луч вр пересека-
ет описанную окружность треугольника в точке r, а луч ср — в точке q.
на стороне ac отметили точку n так, что
доказано
Пошаговое объяснение:
Задача 4. Допустим противное - все возможные простые делители чисел в ряду
2
,
3
,
5
,
7
,
11
,
13
,
17
,
19
. Всего восемь. Ясно, что каждый простой делитель у любого числа встречается в разложении не более чем два раза (иначе можно было бы выделить куб). Значит каждый простой делитель может встречаться либо
0
, либо
1
, либо
2
раза. Три случая. Следовательно, всего возможных подобных чисел (свободных от кубов с простыми делителями меньше
20
) равно
3
8
=
6561
<
7000.
Значит если есть
7000
различных таких чисел, то найдется одно не удовлетворяющее заданному условию. ЧТД.