Дано: y = x⁴ - 8*x²
Исследование:
1. Область определения: D(y)= R, X∈(-∞;+∞)
2. Непрерывная. Гладкая. Вертикальных асимптот - нет
3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= +∞, Y(+∞)= +∞. -
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x)=0.
Применим метод подстановки. Z = x². z² + -8*z = 0
Нули функции: x1=-2,83, x2= x3 = 0, x4=2,83
5. Интервалы знакопостоянства.
Положительна: Y(x) ≥0 - X∈(-∞;-2.83]∪[2.83;+∞)
отрицательна: Y(x)≤0 -X∈[-2.83;2.83] .
6. Проверка на чётность. Все степени при Х: 4, 2, 0 - чётные.
Функция чётная: Y(-x) = Y(x)
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 4*x³ - 16*x = 4*x*(x² - 4) = 4*x*(x-2)*(x+2) = 0
Корни производной - точки экстремумов: x₅=-2, x₆ = 0, x₇ = 2.
8. Локальные экстремумы.
Минимумы (два) при x₅ = x₇ = -2. Ymin(-2) = -16 - ответ,
Максимум (один) при х₆ = 0. Ymax(0) = 0 - ответ
Дополнительно (пригодится)
Точки перегиба в корнях второй производной.
y"(x) = 12*x² - 16 = x² - 4/3
x₈ = -√(4/3) = - 1.15, x₉ = 1.15
График функции и шаблон для описания - в приложении.
Пошаговое объяснение:
а)
6,72 * 2 1/3 - 3,72 * 2 1/3 = 2 1/3 * (6,72 - 3,72) = 7/3 * 3 = 7,
б)
72 * 2 2/5 + 72 * 3 7/15 - 72 * 4 4/15 = 72 * (2 2/5 + 3 7/15 - 4 4/15) =
= 72 * (2 6/15 + 3 7/15 - 4 4/15) = 72 * 1 9/15 =
= 72 * 24/15 = 115 1/5 (или 115,2),
в)
5 9/14 * 0,3 - 0,3 * 1 10/21 + 0,3 * 1 1/6 = 0,3 * (5 9/14 - 1 10/21 + 1 1/6) =
= 0,3 * (5 27/42 - 1 20/42 + 1 7/42) =
= 0,3 * 5 14/42 = 3/10 * 5 1/3 = 3/10 * 16/3 = 1 3/5 (или 1,6),
г)
32,3 * 7 10/13 + 2 3/13 * 32,3 = 32,3 * (7 10/13 + 2 3/13) =
= 32,3 * 9 13/13 = 32,3 * 10 = 323,
д)
1,6 * 5,3 - 2,4 * 5,3 + 4 4/5 * 5,3 = 5,3 * (1,6 - 2,4 + 4 4/5) =
= 5,3 * (1,6 - 2,4 + 4,8) = 5,3 * 4 = 21,2
е)
5,6 * 4 2/3 + 6 47/48 * 5,6 + 2 5/16 * 5,6 =
= 5,6 * (4 2/3 + 6 47/48 + 2 5/16) = 5,6 * (4 32/48 + 6 47/48 + 2 15/48) =
= 5,6 * 12 94/48 = 5,6 * 13 46/48 = 5,6 * 13 23/24 =
= 56/10 * 335/24 = 469/6 = 78 1/6
Дано: y = x⁴ - 8*x²
Исследование:
1. Область определения: D(y)= R, X∈(-∞;+∞)
2. Непрерывная. Гладкая. Вертикальных асимптот - нет
3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= +∞, Y(+∞)= +∞. -
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x)=0.
Применим метод подстановки. Z = x². z² + -8*z = 0
Нули функции: x1=-2,83, x2= x3 = 0, x4=2,83
5. Интервалы знакопостоянства.
Положительна: Y(x) ≥0 - X∈(-∞;-2.83]∪[2.83;+∞)
отрицательна: Y(x)≤0 -X∈[-2.83;2.83] .
6. Проверка на чётность. Все степени при Х: 4, 2, 0 - чётные.
Функция чётная: Y(-x) = Y(x)
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 4*x³ - 16*x = 4*x*(x² - 4) = 4*x*(x-2)*(x+2) = 0
Корни производной - точки экстремумов: x₅=-2, x₆ = 0, x₇ = 2.
8. Локальные экстремумы.
Минимумы (два) при x₅ = x₇ = -2. Ymin(-2) = -16 - ответ,
Максимум (один) при х₆ = 0. Ymax(0) = 0 - ответ
Дополнительно (пригодится)
Точки перегиба в корнях второй производной.
y"(x) = 12*x² - 16 = x² - 4/3
x₈ = -√(4/3) = - 1.15, x₉ = 1.15
График функции и шаблон для описания - в приложении.
Пошаговое объяснение:
а)
6,72 * 2 1/3 - 3,72 * 2 1/3 = 2 1/3 * (6,72 - 3,72) = 7/3 * 3 = 7,
б)
72 * 2 2/5 + 72 * 3 7/15 - 72 * 4 4/15 = 72 * (2 2/5 + 3 7/15 - 4 4/15) =
= 72 * (2 6/15 + 3 7/15 - 4 4/15) = 72 * 1 9/15 =
= 72 * 24/15 = 115 1/5 (или 115,2),
в)
5 9/14 * 0,3 - 0,3 * 1 10/21 + 0,3 * 1 1/6 = 0,3 * (5 9/14 - 1 10/21 + 1 1/6) =
= 0,3 * (5 27/42 - 1 20/42 + 1 7/42) =
= 0,3 * 5 14/42 = 3/10 * 5 1/3 = 3/10 * 16/3 = 1 3/5 (или 1,6),
г)
32,3 * 7 10/13 + 2 3/13 * 32,3 = 32,3 * (7 10/13 + 2 3/13) =
= 32,3 * 9 13/13 = 32,3 * 10 = 323,
д)
1,6 * 5,3 - 2,4 * 5,3 + 4 4/5 * 5,3 = 5,3 * (1,6 - 2,4 + 4 4/5) =
= 5,3 * (1,6 - 2,4 + 4,8) = 5,3 * 4 = 21,2
е)
5,6 * 4 2/3 + 6 47/48 * 5,6 + 2 5/16 * 5,6 =
= 5,6 * (4 2/3 + 6 47/48 + 2 5/16) = 5,6 * (4 32/48 + 6 47/48 + 2 15/48) =
= 5,6 * 12 94/48 = 5,6 * 13 46/48 = 5,6 * 13 23/24 =
= 56/10 * 335/24 = 469/6 = 78 1/6