Длина = х Ширина = у Составляем систему уравнений: {х + 1/4у = 7 {х + у = 10 → x = 10 - y → подставляем значение х в 1-ое уравнение получаем: 10 - у + 1/4у = 7 10 - 3/4у = 7 3/4у = 10 - 7 3/4у = 3 у = 4 х = 10 - у х = 10 - 4 х = 6 ответ: х = 6; у = 4
1) Определяем уравнение плоскости BCD: Уравнение плоскости: A · x + B · y + C · z + D = 0 . Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему: A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 , A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 , A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 . Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом: A · (-2) + B · (3) + C · (5) + D = 0 , A · (1) + B · (-5) + C · (-9) + D = 0 , A · (-1) + B · (-6) + C · (3) + D = 0 . Решение матричным
Ширина = у
Составляем систему уравнений:
{х + 1/4у = 7
{х + у = 10 → x = 10 - y → подставляем значение х в 1-ое уравнение
получаем:
10 - у + 1/4у = 7
10 - 3/4у = 7
3/4у = 10 - 7
3/4у = 3
у = 4
х = 10 - у
х = 10 - 4
х = 6
ответ: х = 6; у = 4
А(0; 1; -1), B(-2; 3; 5), C(1; -5; -9), D(-1 ;-6; 3).
1) Определяем уравнение плоскости BCD:
Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 ,
A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 ,
A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 .
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (-2) + B · (3) + C · (5) + D = 0 ,
A · (1) + B · (-5) + C · (-9) + D = 0 ,
A · (-1) + B · (-6) + C · (3) + D = 0 .
Решение матричным
(x - (-2))-(8·(-2)-(-14)·(-9)) - (y - 3)(3·(-2)-(-14)·1) + (z - 5)(3·(-9)-(-8)·1) = 0
(-110)(x - (-2)) + (-8)(y - 3) + (-19)(z - 5) = 0
- 110x - 8y - 19z - 101 = 0.
Если умножим на -1, то получим уравнение плоскости:
110 · x + 8 · y + 19 · z + 101 = 0 .Координаты точки А: (0; 1; -1).
Если прямая перпендикулярна плоскости 110x + 8y + 19z + 101 = 0, значит она параллельна нормальному вектору этой плоскости n⃗ ={110; 8; 19}. Итак надo составит уравнение прямой с направляющим вектором n⃗ , проходящей через точку А (0; 1; -1).
2) Расстояние от точки А до плоскости BCD.
Для вычисления расстояния от точки А(0, 1, -1) до плоскости
110x + 8y + 19z + 101 = 0 используем формулу:
d = |A·Аx + B·Ау + C·Аz + D|/√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данныеd = |110·0 + 8·1 + 19·(-1) + 101|/√(110² + 8² + 19²) =
= |0 + 8 - 19+ + 101| / √(12100 + 64 + 361) =
= 90/√12525 = 6√501/167 ≈ 0,80418069.
3) Угол между прямой АС и плоскостью BCD.
Уравнение АС: (x-0)/1 = (y-1)/(-6) = (z+1)/(-8).
Направляющий вектор прямой имеет вид:s = 1; -6; -8
Вектор нормали плоскости имеет вид:q = 110; 8; 19
Угол между прямой и плоскостью:sin φ = | A · l + B · m + C · n | /(√A² + B² + C² · √l² + m² + n²) =
= | 110 · 1 + 8 · (-6) + 19 · (-8) | /(√110² + 8² + 19² · √1² + (-6)² + (-8)²) =
= | 110 - 48 - 152 | /(√(12100 + 64 + 361)·√(1 + 36 + 64)) =
= 90 /(√12525·√101) = 90/√1265025 = 6√50601/16867 ≈ 0,0800189697.
Этому синусу соответствует угол 0,0801046 радиан или 4,5896561°.