2) Найдите средното скорость движения автобуса, если он на путь длиной 110 км потратил 2 часа, 165 км се наначные числа, используя пифры 7 и 9. 3 часа.
Первая цифра - координата по оси Х, вторая - по оси У. На пересечении двух прямых, проходящих через точки с приведенными на оси координатами, лежит искомая точка. Это в двумерном случае. В одномерном случае координата на оси и есть искомая точка. Из всех приведенных точек противоположные координаты лишь у точек D и B. Противоположные координаты у точек в том случае, если координаты одной - координаты другой со знаком минус, например (-4,3) и (4,-3). Т.е. они лежат в противоположных четвертях в двумерном случае или равноудалены от нуля по разные стороны от него в одномерном
A(x^2 + 1/x^2) - (a+1)(x + 1/x) + 5 = 0 1) При a = 0 будет -(x + 1/x) + 5 = 0 -x^2 + 5x - 1 = 0 x^2 - 5x + 1 = 0 D = 25 - 4 = 21 > 0 - уравнение имеет 2 корня, не подходит.
2) При а не = 0 делаем замену x + 1/x = y Заметим, что при x > 0 будет y >= 2; при x < 0 будет y <= -2. Причем y = 2 при x = 1 и y = -2 при x = -1. Тогда y^2 = (x + 1/x)^2 = x^2 + 2x*1/x + 1/x^2 = x^2 + 1/x^2 + 2 То есть x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2. Подставляем a(y^2 - 2) - (a+1)*y + 5 = ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0
3) Если это уравнение не имеет решений (D < 0), то и исходное тоже не имеет решений. ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0 D = (a+1)^2 - 4*a*(5-2a) = a^2 + 2a + 1 - 20a + 8a^2 = 9a^2 - 18a + 1 < 0 Решаем это неравенство, находим D для него. D1 = 18^2 - 4*9*1 = 324 - 36 = 288 = 2*144 = (12√2)^2 a1 = (18 - 12√2)/18 = (3 - 2√2)/3 a2 = (18 + 12√2)/18 = (3 + 2√2)/3 a ∈ ( (3 - 2√2)/3 ; (3 + 2√2)/3 )
4) Если у этого уравнения есть корни, но они оба -2 < y < 2, то исходное уравнение тоже не имеет решений. ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0 D = (a+1)^2 - 4*a*(5-2a) = a^2 + 2a + 1 - 20a + 8a^2 = 9a^2 - 18a + 1 >= 0 Решаем точно также D1 = 18^2 - 4*9*1 = 324 - 36 = 288 = 2*144 = (12√2)^2 a1 = (18 - 12√2)/18 = (3 - 2√2)/3 a2 = (18 + 12√2)/18 = (3 + 2√2)/3 a ∈ (-oo; (3 - 2√2)/3 ) U ( (3 + 2√2)/3; +oo) Очевидно, что y1 < y2, поэтому нужно решить систему: Распадается на две системы
а) Если a < 0, то есть a < (3 - 2√2)/3 { 5a+1- √(9a^2-18a+1) > 0 { 1-3a+ √(9a^2-18a+1) < 0 Выделяем корни { √(9a^2-18a+1) < 5a + 1 { √(9a^2-18a+1) < 3a - 1 Если a < 0, то 3a - 1 < 0, арифметический корень не может быть отрицательным, поэтому решений нет. б) Если a > 0, то есть a > (3 + 2√2)/3 { 5a+1- √(9a^2-18a+1) < 0 { 1-3a+ √(9a^2-18a+1) > 0 Выделяем корни { √(9a^2-18a+1) > 5a + 1 { √(9a^2-18a+1) > 3a - 1 Если a > 0, то 5a+1 > 3a-1, достаточно решить 1 неравенство. Возводим в квадрат. 9a^2-18a+1 > 25a^2 + 10a + 1 16a^2 + 28a < 0 4a(4a + 7) < 0 a ∈ (-7/4; 0) Но по условию a > 0, поэтому решений опять нет.
Из всех приведенных точек противоположные координаты лишь у точек D и B.
Противоположные координаты у точек в том случае, если координаты одной - координаты другой со знаком минус, например (-4,3) и (4,-3). Т.е. они лежат в противоположных четвертях в двумерном случае или равноудалены от нуля по разные стороны от него в одномерном
1) При a = 0 будет
-(x + 1/x) + 5 = 0
-x^2 + 5x - 1 = 0
x^2 - 5x + 1 = 0
D = 25 - 4 = 21 > 0 - уравнение имеет 2 корня, не подходит.
2) При а не = 0 делаем замену x + 1/x = y
Заметим, что при x > 0 будет y >= 2; при x < 0 будет y <= -2.
Причем y = 2 при x = 1 и y = -2 при x = -1. Тогда
y^2 = (x + 1/x)^2 = x^2 + 2x*1/x + 1/x^2 = x^2 + 1/x^2 + 2
То есть x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2. Подставляем
a(y^2 - 2) - (a+1)*y + 5 = ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0
3) Если это уравнение не имеет решений (D < 0), то и исходное тоже не имеет решений.
ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0
D = (a+1)^2 - 4*a*(5-2a) = a^2 + 2a + 1 - 20a + 8a^2 = 9a^2 - 18a + 1 < 0
Решаем это неравенство, находим D для него.
D1 = 18^2 - 4*9*1 = 324 - 36 = 288 = 2*144 = (12√2)^2
a1 = (18 - 12√2)/18 = (3 - 2√2)/3
a2 = (18 + 12√2)/18 = (3 + 2√2)/3
a ∈ ( (3 - 2√2)/3 ; (3 + 2√2)/3 )
4) Если у этого уравнения есть корни, но они оба -2 < y < 2, то исходное уравнение тоже не имеет решений.
ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0
D = (a+1)^2 - 4*a*(5-2a) = a^2 + 2a + 1 - 20a + 8a^2 = 9a^2 - 18a + 1 >= 0
Решаем точно также
D1 = 18^2 - 4*9*1 = 324 - 36 = 288 = 2*144 = (12√2)^2
a1 = (18 - 12√2)/18 = (3 - 2√2)/3
a2 = (18 + 12√2)/18 = (3 + 2√2)/3
a ∈ (-oo; (3 - 2√2)/3 ) U ( (3 + 2√2)/3; +oo)
Очевидно, что y1 < y2, поэтому нужно решить систему:
Распадается на две системы
а) Если a < 0, то есть a < (3 - 2√2)/3
{ 5a+1- √(9a^2-18a+1) > 0
{ 1-3a+ √(9a^2-18a+1) < 0
Выделяем корни
{ √(9a^2-18a+1) < 5a + 1
{ √(9a^2-18a+1) < 3a - 1
Если a < 0, то 3a - 1 < 0, арифметический корень не может быть отрицательным, поэтому решений нет.
б) Если a > 0, то есть a > (3 + 2√2)/3
{ 5a+1- √(9a^2-18a+1) < 0
{ 1-3a+ √(9a^2-18a+1) > 0
Выделяем корни
{ √(9a^2-18a+1) > 5a + 1
{ √(9a^2-18a+1) > 3a - 1
Если a > 0, то 5a+1 > 3a-1, достаточно решить 1 неравенство.
Возводим в квадрат.
9a^2-18a+1 > 25a^2 + 10a + 1
16a^2 + 28a < 0
4a(4a + 7) < 0
a ∈ (-7/4; 0)
Но по условию a > 0, поэтому решений опять нет.
ответ: a ∈ ( (3 - 2√2)/3 ; (3 + 2√2)/3 )