Проверить сходимость ряда можно несколькими Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку
то данный ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.
Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:
здесь
a
n
и
a
n
1
соответственно n-ый и (n+1)-й члены ряда, а сходимость определяется значением D: Если D < 1 - ряд сходится, если D > 1 - расходится. При D = 1 - данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.
В качестве примера, исследуем сходимость ряда
∞
n
0
n
4
n
с признака Даламбера. Сначала запишем выражения для
a
n
n
4
n
и
a
n
1
n
1
4
n
1
. Теперь найдем соответствующий предел:
lim
n
∞
a
n
1
a
n
lim
n
∞
n
1
4
n
4
n
1
n
lim
n
∞
n
1
4
n
1
4
lim
n
∞
1
1
n
1
4
Поскольку
1
4
<
1
, в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.
Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:
lim
n
∞
n
a
n
D
здесь
a
n
n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением D: Если D < 1 - ряд сходится, если D > 1 - расходится. При D = 1 - данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.
В качестве примера, исследуем сходимость ряда
∞
n
0
5
n
1
2
n
5
6
n
2
с радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для
a
n
5
n
1
2
n
5
6
n
2
. Теперь найдем соответствующий предел:
lim
n
∞
n
a
n
lim
n
∞
n
5
n
1
2
n
5
6
n
2
lim
n
∞
5
n
1
2
n
5
6
n
2
n
lim
n
∞
5
n
1
2
n
5
6
2
n
lim
n
∞
5
n
1
n
2
n
5
n
6
2
n
lim
n
∞
5
1
n
2
5
n
6
2
n
lim
n
∞
5
1
n
2
5
n
6
lim
n
∞
5
1
n
2
5
n
2
n
5
2
6
15625
64
Поскольку
15625
64
>
1
, в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.
2 * x ^ 2 + 3 * x + 1 = 0 ;
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
D = b ^ 2 - 4 * a * c = 3 ^ 2 - 4 · 2 · 1 = 9 - 8 = 1;
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
x1 = ( - 3 - √1 ) / ( 2 · 2 ) = ( - 3 - 1 ) / 4 = - 4 / 4 = -1;
x2 = (- 3 + √1 ) / ( 2 · 2 ) = ( -3 + 1 ) / 4 = - 2 / 4 = - 1 / 2 = - 0 . 5 ;
Проверка:
1 ) при х = - 1 , тогда 2 * ( - 1 ) ^ 2 + 3 * ( - 1 ) + 1 = 0 ;
2 * 1 - 3 * 1 + 1 = 0 ;
- 1 + 1 = 0 ;
0 = 0 ;
Верно;
2 ) при х = - 1 / 2 , тогда 2 * ( - 1 / 2 ) ^ 2 + 3 * ( - 1 / 2 ) + 1 = 0 ;
2 * 1 / 4 - 3 * 1 / 2 + 1 = 0
1 / 2 - 3 / 2 + 1 = 0 ;
0 = 0 ;
Верно ;
ответ: х= - 1 и х = - 1 / 2.
Пошаговое объяснение:
Проверить сходимость ряда можно несколькими Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку
то данный ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.
Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:
здесь
a
n
и
a
n
1
соответственно n-ый и (n+1)-й члены ряда, а сходимость определяется значением D: Если D < 1 - ряд сходится, если D > 1 - расходится. При D = 1 - данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.
В качестве примера, исследуем сходимость ряда
∞
n
0
n
4
n
с признака Даламбера. Сначала запишем выражения для
a
n
n
4
n
и
a
n
1
n
1
4
n
1
. Теперь найдем соответствующий предел:
lim
n
∞
a
n
1
a
n
lim
n
∞
n
1
4
n
4
n
1
n
lim
n
∞
n
1
4
n
1
4
lim
n
∞
1
1
n
1
4
Поскольку
1
4
<
1
, в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.
Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:
lim
n
∞
n
a
n
D
здесь
a
n
n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением D: Если D < 1 - ряд сходится, если D > 1 - расходится. При D = 1 - данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.
В качестве примера, исследуем сходимость ряда
∞
n
0
5
n
1
2
n
5
6
n
2
с радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для
a
n
5
n
1
2
n
5
6
n
2
. Теперь найдем соответствующий предел:
lim
n
∞
n
a
n
lim
n
∞
n
5
n
1
2
n
5
6
n
2
lim
n
∞
5
n
1
2
n
5
6
n
2
n
lim
n
∞
5
n
1
2
n
5
6
2
n
lim
n
∞
5
n
1
n
2
n
5
n
6
2
n
lim
n
∞
5
1
n
2
5
n
6
2
n
lim
n
∞
5
1
n
2
5
n
6
lim
n
∞
5
1
n
2
5
n
2
n
5
2
6
15625
64
Поскольку
15625
64
>
1
, в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.
Пошаговое объяснение: