2. Сторона АD треугольника АВD принадлежит плоскости α, точка С, не принадлежащая прямой АD, - проекция точки В на плоскость α. Точка F – середина АВ. Выберите неверное утверждение: а) прямые FD и АС пересекаются;
б) прямые FC и АD скрещиваются;
в) прямые ВС и FC пересекаются;
г) прямые ВС и АD
скрещиваются.
3. Через концы отрезка КС, не пересекающего плоскость α, и точку Р – середину этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Р1, К1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка РР1, если КК1 = 27см, а СС1 = 7см.
5.Через концы отрезка МР и точку А этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках М1, Р1 и А1 соответственно. Найдите длину отрезка АА1, если ММ1 равен 18см, РР1 равен 10см, и АР : АМ = 1 : 5. Отрезок МР не пересекает плоскость α.
а) 6,5см; в) 13см;
б) 14см; г) другой ответ
2. Нам дан треугольник АВD и плоскость α, на которой лежит сторона АD. Точка С – проекция точки В на плоскость α, а точка F – середина стороны АВ.
а) Утверждение "прямые FD и АС пересекаются" верно. Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством средней линии в треугольнике: средняя линия параллельна и равна половине третьей стороны. В нашем случае, средняя линия АF равна половине стороны АВ, то есть AF = FB. Из средней линии также следует, что CF = FD. Таким образом, у нас получаются два равных треугольника ACF и FDB, где сторона AF равна стороне FB, а сторона CF равна стороне FD. Из равенства сторон следует, что у этих треугольников соответственно равны углы у. Значит, у них есть общая вершина F. Таким образом, прямые FD и АС пересекаются.
б) Утверждение "прямые FC и АD скрещиваются" неверно. Прямые FC и АD параллельны, так как сторона АD лежит на плоскости α, а точка С – проекция точки В на эту плоскость. А значит, эти прямые никогда не пересекутся.
в) Точно так же, утверждение "прямые ВС и FC пересекаются" также неверно. Прямые ВС и FC параллельны, и поэтому они не пересекаются.
г) Утверждение "прямые ВС и АD скрещиваются" неверно. Прямые ВС и АD параллельны, так как сторона АD лежит в плоскости α, а сторона ВС – проекция точки AD на эту плоскость. Значит, эти прямые также не пересекаются.
Таким образом, неверное утверждение – б) прямые FC и АD скрещиваются.
3. У нас есть отрезок КС, не пересекающий плоскость α, и точка Р – середина этого отрезка. Также проведены параллельные прямые через концы отрезка КС, которые пересекают плоскость α в точках Р1, К1 и С1 соответственно. Нам нужно найти длину отрезка РР1, если KK1 = 27см, а СС1 = 7см.
Поскольку Р – середина отрезка КС, то длина отрезка KK1 равна СС1. Так как СС1 = 7см, то KK1 также равно 7см.
РР1 является средней линией треугольника КРК1 и равна половине стороны КК1. Так как КК1 = 7см, то РР1 = 7/2 = 3.5см.
Таким образом, длина отрезка РР1 равна 3.5см.
5. Нам дан отрезок МР и точка А на этом отрезке. Проведены параллельные прямые через концы отрезка МР, которые пересекают плоскость α в точках М1, Р1 и А1 соответственно. Нужно найти длину отрезка АА1, если ММ1 = 18см, РР1 = 10см, и АР : АМ = 1 : 5. Отрезок МР не пересекает плоскость α.
АР : АМ = 1 : 5 означает, что отношение длин АР и АМ равно 1 : 5. По условию РР1 = 10см, а значит, длина отрезка РР1 равна длине отрезка АР. Так как АР : АМ = 1 : 5, то АР = РР1 = 10см.
Теперь нам нужно найти длину отрезка А1М1. Так как ММ1 = 18см и АМ : ММ1 = 1 : 5, то АМ = 18 см * 5 / 1 = 90см.
Длина отрезка А1М1 равна половине отрезка АМ, так как А1 – это середина отрезка АМ. Значит, А1М1 = 90см / 2 = 45см.
Таким образом, длина отрезка АА1 равна АР + А1М1 = 10см + 45см = 55см.
Ответ: Выбираем г) другой ответ – длина отрезка АА1 равна 55см.
Итак, получается, что неверное утверждение в вопросе 2 – б) прямые FC и АD скрещиваются; а в вопросе 5 – г) другой ответ, длина отрезка АА1 равна 55см.