1) Область определения логарифма { x > 0; x =/= 1 { x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) > 0 Отсюда { x > 0; x =/= 1 { x < -3 U x > 1 В итоге: x > 1
Это значит, что логарифм по основанию х - возрастающий. Кроме того, если x^2 + 2x - 3 > 0. то x^2 + 2x - 2 тоже > 0
2) Теперь решаем само неравенство По одному из свойств логарифмов Причем новое основание с может быть каким угодно, например, 10. Замена Поскольку x > 1, то lg (x) > 0, поэтому при умножении на знаменатель знак неравенства не меняется. Единственное решение уравнения: y = 2, тогда y + 2 = 4, y^2 + 1 = 5. Решение неравенства: y >= 2 x ∈ (-oo; -1-2√2] U [-1+2√2; +oo) Но по области определения x > 1 ответ: x ∈ [-1+2√2; +oo)
Пересечением двух множеств, называется третье множество, сформированное из элементов, которые входят в оба первых множества.
Например, если в одно множество входят числа от 1 до 10, а во второе — от 5 до 20, то пересечением этих множеств будут числа от 5 до 10, так как они входят в оба.
Пересечение множеств записывается так:
A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}
На диаграмме Эйлера-Венна пересечение множеств обозначается общей частью кругов.
Множества могут не пересекаться вообще, одно может полностью включать другое.
Пересечение множеств может использоваться тогда, когда надо найти элементы, которые удовлетворяют нескольким условиям.
Объединением двух множеств, называется третье множество, сформированное из всех элементов обоих первых множеств. При этом если элемент входит в оба множества, то в объединенное он входит один раз. Это и понятно, так как множество по определению включает только разные элементы.
Например, объединением множества натуральных чисел от 1 до 10 и множества натуральных от 5 до 15 будет множество натуральных чисел от 1 до 15.
Объединение множеств описывается так:
A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}
На диаграмме Эйлера-Венна объединение множеств обозначается всей областью кругов.
Разностью двух множеств, называют третье множество, в которое входят все элементы одного из двух множеств и не входят элементы принадлежащие обоим множествам.
Если результат пересечения и объединения двух множеств не меняется от перестановки множеств при выполнении операции, то результат разности зависит от того, какое множество из какого «вычитают».
Сравните. Даны множества A = {1,2,3,4,5} и B = {4,5,8,9}. Разность множеств обозначается знаком \. A \ B = {1,2,3}, т. к. 4 и 5 входят в множество B. В то время как B \ A = {8,9}.
Понятно, что если у множеств нет общих элементов, то их разность будет равна «уменьшаемому», т. е. первому множеству. Если же множества полностью совпадают, то их разностью будет пустое множество.
Если все элементы «вычитаемого» множества B входят в состав «уменьшаемого» A (A \ B), то B называют дополнением некого множества C до A.
{ x > 0; x =/= 1
{ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) > 0
Отсюда
{ x > 0; x =/= 1
{ x < -3 U x > 1
В итоге: x > 1
Это значит, что логарифм по основанию х - возрастающий.
Кроме того, если x^2 + 2x - 3 > 0. то x^2 + 2x - 2 тоже > 0
2) Теперь решаем само неравенство
По одному из свойств логарифмов
Причем новое основание с может быть каким угодно, например, 10.
Замена
Поскольку x > 1, то lg (x) > 0, поэтому при умножении на знаменатель знак неравенства не меняется.
Единственное решение уравнения: y = 2, тогда y + 2 = 4, y^2 + 1 = 5.
Решение неравенства: y >= 2
x ∈ (-oo; -1-2√2] U [-1+2√2; +oo)
Но по области определения x > 1
ответ: x ∈ [-1+2√2; +oo)
Пересечением двух множеств, называется третье множество, сформированное из элементов, которые входят в оба первых множества.
Например, если в одно множество входят числа от 1 до 10, а во второе — от 5 до 20, то пересечением этих множеств будут числа от 5 до 10, так как они входят в оба.
Пересечение множеств записывается так:
A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}
На диаграмме Эйлера-Венна пересечение множеств обозначается общей частью кругов.
Множества могут не пересекаться вообще, одно может полностью включать другое.
Пересечение множеств может использоваться тогда, когда надо найти элементы, которые удовлетворяют нескольким условиям.
Объединением двух множеств, называется третье множество, сформированное из всех элементов обоих первых множеств. При этом если элемент входит в оба множества, то в объединенное он входит один раз. Это и понятно, так как множество по определению включает только разные элементы.
Например, объединением множества натуральных чисел от 1 до 10 и множества натуральных от 5 до 15 будет множество натуральных чисел от 1 до 15.
Объединение множеств описывается так:
A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}
На диаграмме Эйлера-Венна объединение множеств обозначается всей областью кругов.
Разностью двух множеств, называют третье множество, в которое входят все элементы одного из двух множеств и не входят элементы принадлежащие обоим множествам.
Если результат пересечения и объединения двух множеств не меняется от перестановки множеств при выполнении операции, то результат разности зависит от того, какое множество из какого «вычитают».
Сравните. Даны множества A = {1,2,3,4,5} и B = {4,5,8,9}. Разность множеств обозначается знаком \.
A \ B = {1,2,3}, т. к. 4 и 5 входят в множество B.
В то время как B \ A = {8,9}.
Понятно, что если у множеств нет общих элементов, то их разность будет равна «уменьшаемому», т. е. первому множеству. Если же множества полностью совпадают, то их разностью будет пустое множество.
Если все элементы «вычитаемого» множества B входят в состав «уменьшаемого» A (A \ B), то B называют дополнением некого множества C до A.