2 вариант
РЕШЕНИЕ НУЖНО НАЧИНАЯ СО 2 ВАРИАНТА, НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ ИЛИ НАБОР БУКВ,БАН
А1. Сколько интервалов возрастания имеет функция f(х) = х 3 – 3х 2 ?
А. 1. Б. Ни одного. В. 2. Г. 3
А2. Сколько критических точек имеет функция f(х) = х 3 – 6х 2 + 9х
А. Ни одной. Б. 3. В. 1. Г. 2.
А3. Значение функции у = 2х 2 - 8х + 11 в точке минимума равно…
А. 0. Б.5. В. 2. Г.3.
А4. Точкой минимума функции f(х) = 16х 3 + 81х 2 – 21 х – 5 является…
А. . Б.2,5 . В. –3. Г. –1 .
. Уровень В (повышенный по вариантам практической работы).
1. Исследуйте с производной функцию f(х) = х 3 – 3х 2 – 9х на монотонность,
экстремумы, точки перегиба
2. Исследуйте с производной функцию f(х) = 5х 3 – 3х 5 + 1 на монотонность,
экстремумы, точки перегиба
3. Исследуйте с производной функцию f(х) = 16х3 + 81х2 – 21х – 5 на
монотонность, экстремумы, точки перегиба 4. Исследуйте с производной
функцию f(х) = 4x 2 –x 4 на монотонность, экстремумы, точки перегиба 5
Давайте по порядку разберем каждый вопрос.
А1. Нам дана функция f(x) = x^3 - 3x^2. Чтобы определить интервалы возрастания функции, нужно найти производную от этой функции и решить неравенство f'(x) > 0.
Для функции f(x) = x^3 - 3x^2 производная будет f'(x) = 3x^2 - 6x.
Теперь решим неравенство 3x^2 - 6x > 0:
3x(x - 2) > 0.
Для того чтобы произведение двух чисел было положительным, оба множителя должны быть положительными или отрицательными.
1) Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны:
a) 3x > 0 => x > 0,
b) x - 2 > 0 => x > 2.
Из условия a) можно заметить, что x=0 является положительным числом и удовлетворяет условию a).
Таким образом, интервалы возрастания функции f(x) = x^3 - 3x^2: (-∞, 0) и (2, +∞).
Ответ: Вариант В - 2 интервала возрастания.
А2. Для нахождения критических точек функции, нужно найти производную от функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x и найти корни этой производной.
Производная от функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x будет f'(x) = 3x^2 - 12x + 9.
Теперь найдем корни производной:
3x^2 - 12x + 9 = 0,
x^2 - 4x + 3 = 0,
(x - 3)(x - 1) = 0,
x1 = 3, x2 = 1.
Таким образом, у функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x есть 2 критические точки - x = 3, x = 1.
Ответ: Вариант Г - 2 критические точки.
А3. Нам дана функция y = 2x^2 - 8x + 11. Чтобы найти значение функции в точке минимума, нужно сначала найти координаты точки минимума.
Для этого найдем производную от функции y = 2x^2 - 8x + 11 и приравняем ее к нулю:
y' = 4x - 8 = 0,
4x = 8,
x = 2.
Теперь найдем значение функции в точке минимума:
y = 2(2)^2 - 8(2) + 11,
y = 2(4) - 16 + 11,
y = 8 - 16 + 11,
y = 3.
Ответ: Вариант Г - значение функции у = 2х^2 - 8х + 11 в точке минимума равно 3.
А4. Чтобы найти точку минимума функции f(x) = 16x^3 + 81x^2 - 21x - 5, нужно найти производную от этой функции и приравнять ее к нулю.
Производная от функции f(x) = 16x^3 + 81x^2 - 21x - 5 будет f'(x) = 48x^2 + 162x - 21.
Теперь найдем корни производной:
48x^2 + 162x - 21 = 0,
16x^2 + 54x -7 = 0,
(4x + 7)(4x - 1) = 0,
x1 = -7/4, x2 = 1/4.
Таким образом, точками минимума функции f(x) = 16x^3 + 81x^2 - 21x - 5 являются x = -7/4 и x = 1/4.
Ответ: Вариант Б - точкой минимума функции f(x) = 16x^3 + 81x^2 - 21x - 5 является x = -7/4.
Уровень В (повышенный по вариантам практической работы):
1. Для исследования функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x на монотонность, экстремумы и точки перегиба нужно проанализировать производную функции и вторую производную.
a) Найдем производную функции:
f'(x) = 3x^2 - 6x - 9.
b) Найдем вторую производную функции:
f''(x) = 6x - 6.
Анализируем полученные производные:
- Если f'(x) > 0, то функция возрастает.
- Если f'(x) < 0, то функция убывает.
- Если f''(x) > 0, то функция выпукла вверх (точка перегиба).
- Если f''(x) < 0, то функция выпукла вниз (точка перегиба).
2. Аналогично, для исследования функции f(x) = 5x^3 - 3x^5 + 1 нужно найти производную и вторую производную.
а) Найдем производную функции:
f'(x) = 15x^2 - 15x^4.
б) Найдем вторую производную функции:
f''(x) = 30x - 60x^3.
3. Для исследования функции f(x) = 16x^3 + 81x^2 - 21x - 5 нужно также найти производную и вторую производную.
a) Найдем производную функции:
f'(x) = 48x^2 + 162x - 21.
b) Найдем вторую производную функции:
f''(x) = 96x + 162.
4. Для функции f(x) = 4x^2 - x^4 нужно опять же найти производную и вторую производную.
а) Найдем производную функции:
f'(x) = 8x - 4x^3.
б) Найдем вторую производную функции:
f''(x) = 8 - 12x^2.
Это пошаговое решение позволит школьнику понять, как исследовать данные функции и находить интервалы возрастания, критические точки, значения функций в точках минимума и выпуклости функций.
Если у вас остались какие-либо вопросы или нужна более подробная информация, пожалуйста, сообщите мне.