1) при аннуитетных платежах Остап платит каждый раз одну и ту же сумму x$. За 1 месяц банк начислил 20% и долг стал 3640*1,2=4368. Остап заплатил х. Долг стал 4368-x. За 2 месяц банк начислил 20% и долг стал (4368-x)*1,2 = 5241,6-1,2*x. Остап заплатил х и долг стал 5241,6-2,2x. За 3 месяц банк начислил 20% и долг стал (5241,6-2,2x)*1,2 = 6289,92-2,64x. Остап заплатил x и долг стал 0. 6289,92-3,64x = 0 x = 6289,92/3,64 = 1728 $ платит Остап каждый месяц. Всего он заплатит 1728*3 = 5184. 2) при дифференцированных платежах всё намного сложнее. Начальный долг был 3640. Банк начислил 20%, долг стал 4368. Остап заплатил y1, долг стал 4368-y1. При этом долг уменьшился на некоторую величину z. 4368-y1 = 3640-z z = y1 - 728 На 2 месяц банк начислил 20%, долг стал (4368-y1)*1,2 = 5241,6-1,2*y1. Остап заплатил y2, долг стал 5241,6-1,2*y1-y2. И он опять уменьшился на z. 5241,6-1,2*y1-y2 = 4368-y1-z y2 = 5241,6-4368-0,2*y1+z = 873,6-0,2*y1+y1-728 = 0,8*y1+145,6 Долг равен 5241,6-1,2*y1-y2 = 5241,6-1,2*y1-0,8*y1-145,6 = 5096-2*y1 На 3 месяц банк начислил 20%, долг стал (5096-2*y1)*1,2 = 6115,2-2,4*y1 Остап заплатил y3, и долг стал 6115,2-2,4*y1-y3. И опять он уменьшился на z. 6115,2-2,4*y1-y3 = 5096-2*y1-z y3 = 6115,2-5096-0,4*y1+y1-728 = 0,6*y1+291,2. Долг стал равен 6115,2-2,4*y1-0,6*y1-291,2 = 5824 - 3*y1. Но это последняя выплата, и долг стал равен 0. 5824 = 3*y1 y1 = 5824/3 = 1941,(3) = 1941 1/3 y2 = 0,8*y1+145,6 = 1698,(6) = 1698 2/3 y3 = 0,6*y1+291,2 = 1456. Долг уменьшался каждый раз на z = y1-728 = 1941 1/3 - 728 = 1213 1/3 Всего Остап заплатит y1+y2+y3 = 1941 1/3 + 1698 2/3 + 1456 = 5096. При втором плане платежей Остап сэкономит 5184-5096=88$. При объеме выплат больше 5000 такая копеечная экономия не стоит трудов по её вычислению.
1) Пусть уроков было N. Пусть Петя победил a раз, Коля b раз, Вася c раз.
Пусть Петя пропустил 1 урок, то есть был на N-1 уроке. Тогда:
Петя получил 4a + 1*(N-1-a) = N + 3a - 1 = 29 конфет.
Коля получил 4b + 1*(N-b) = N + 3b = 32 конфеты
Вася получил 4c + 1*(N-c) = N + 3c = 37 конфет
Из 1 уравнения получаем:
N + 3a = 30, N = 30 - 3a = 3(10 - a), то есть N кратно 3.
Тогда N - 3b и N - 3c тоже были бы кратны 3, но этого нет.
Значит, урок пропустил НЕ Петя.
Пусть урок пропустил Коля. Тогда получится:
Петя получил 4a + 1*(N-a) = N + 3a = 29 конфет.
Коля получил 4b + 1*(N-1-b) = N + 3b - 1 = 32 конфеты
Вася получил 4c + 1*(N-c) = N + 3c = 37 конфет
Тогда из 2 уравнения N + 3b = 33; N = 33 - 3b = 3(11 - b).
Получаем тоже самое: из 2 уравнения N кратно 3, а из 1 и 3 - нет.
Значит, урок пропустил Вася.
Петя получил 4a + 1*(N-a) = N + 3a = 29 конфет.
Коля получил 4b + 1*(N-b) = N + 3b = 32 конфеты
Вася получил 4c + 1*(N-1-c) = N + 3c - 1 = 37 конфет
Теперь из 3 уравнения: N = 38 - 3c, N на 3 не делится, все сходится.
Если написать 4 уравнение: a + b + c = N, то получаем систему:
{ N + 3a = 29
{ N + 3b = 32
{ N + 3c = 38
{ a + b + c = N
Но из этой системы получается N = 99/6 = 16,5, что невозможно.
Так что в задаче ошибка, но тем не менее
ответ: урок пропустил Вася.
2) Я не знаю, как это доказать, с геометрией у меня сложности.
3) Это намного проще, чем 1)
494 = 2*13*19 = 13*38
Это число 138.
За 1 месяц банк начислил 20% и долг стал 3640*1,2=4368.
Остап заплатил х. Долг стал 4368-x.
За 2 месяц банк начислил 20% и долг стал
(4368-x)*1,2 = 5241,6-1,2*x.
Остап заплатил х и долг стал 5241,6-2,2x.
За 3 месяц банк начислил 20% и долг стал
(5241,6-2,2x)*1,2 = 6289,92-2,64x.
Остап заплатил x и долг стал 0.
6289,92-3,64x = 0
x = 6289,92/3,64 = 1728 $ платит Остап каждый месяц.
Всего он заплатит 1728*3 = 5184.
2) при дифференцированных платежах всё намного сложнее.
Начальный долг был 3640.
Банк начислил 20%, долг стал 4368. Остап заплатил y1, долг стал 4368-y1.
При этом долг уменьшился на некоторую величину z.
4368-y1 = 3640-z
z = y1 - 728
На 2 месяц банк начислил 20%, долг стал
(4368-y1)*1,2 = 5241,6-1,2*y1.
Остап заплатил y2, долг стал
5241,6-1,2*y1-y2.
И он опять уменьшился на z.
5241,6-1,2*y1-y2 = 4368-y1-z
y2 = 5241,6-4368-0,2*y1+z = 873,6-0,2*y1+y1-728 = 0,8*y1+145,6
Долг равен 5241,6-1,2*y1-y2 = 5241,6-1,2*y1-0,8*y1-145,6 = 5096-2*y1
На 3 месяц банк начислил 20%, долг стал
(5096-2*y1)*1,2 = 6115,2-2,4*y1
Остап заплатил y3, и долг стал 6115,2-2,4*y1-y3.
И опять он уменьшился на z.
6115,2-2,4*y1-y3 = 5096-2*y1-z
y3 = 6115,2-5096-0,4*y1+y1-728 = 0,6*y1+291,2.
Долг стал равен
6115,2-2,4*y1-0,6*y1-291,2 = 5824 - 3*y1.
Но это последняя выплата, и долг стал равен 0.
5824 = 3*y1
y1 = 5824/3 = 1941,(3) = 1941 1/3
y2 = 0,8*y1+145,6 = 1698,(6) = 1698 2/3
y3 = 0,6*y1+291,2 = 1456.
Долг уменьшался каждый раз на
z = y1-728 = 1941 1/3 - 728 = 1213 1/3
Всего Остап заплатит
y1+y2+y3 = 1941 1/3 + 1698 2/3 + 1456 = 5096.
При втором плане платежей Остап сэкономит 5184-5096=88$.
При объеме выплат больше 5000 такая копеечная экономия не стоит трудов по её вычислению.