3. N 1. Даны векторы a (4; 1; -2) и b (3; m; 2). Определить значения m, при которых угол между векторами
а
b является: а) острым;
б) прямым; в) тупым.​

Пусть число, прочитанное по часовой стрелке с позиции a1, делится  на 27:

N1 = {a1a2a3...a666}

Рассмотрим натуральное число, прочитанное с позиции a2 по часовой стрелке:

N2 = {a2a3a4...a666a1}

Это число может быть получено из числа {a1a2a3...a666} простым преобразованием:

N2 = 10 * (N1 - a1 * 10^665) + a1 =  10 * N1 - a1*( 10^666  -1 )

Заметим, что число: 10^666  -1 состоит из 666 девяток, а значит может быть представлено в виде:  9*1111111 (всего 666 единиц).

Поскольку сумма цифр числа: 1111111 (всего 666 единиц) равна 666, то есть делится на 3, то по признаку делимости на 3: 1111111 (666 единиц) делиться на 3.

Таким образом: 10^666  -1  делится на 27, при этом N1 также делиться на 27, а значит N2 делится на 27.

Как видим, если сместить кратное 27 число на 1 позицию, то полученное число тоже будет делиться на 27, иначе говоря, двигая поочередно данное число по 1 позиции, убеждаемся, что прочитанное по часовой стрелке число с любого места, тоже будет делиться на 27.

Что и требовалось доказать.

P.S можно было оформить по методу мат. индукции, но было лень.

1. Найдем координаты вектора СA:

СA = (4–2 ); 6-10;5-10 ) = (2; - 4; -5).

Найдем координаты вектора CB:

CB = (6 – 2; 9–10;4-10) = (4; -1; -6).

2

Скалярное произведение векторов СA и СB равно:

CA * CB = 2*4 + (-4*-1) + (-5*-6) = 8+4+30=42

Найдем длину вектора CA:

|CA| = √(2²+ (- 4)²+ (-5)² = √(4 +16+25) = √45.

Найдем длину вектора CB:

|CB| = √4²+ (-1)²+ (-6)²= √(16+1+36) = √53.

1. Таким образом, косинус угла между векторами CA и CB равен:

cos∠B = cos∠(CA, CB) = 42/(√45 * √53) = 42/(√9 * √5* √53) = 42/(3√265) = =14/√265

∠BCA = arccos14/√265.